這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
速降函數
速降函數$\varphi (x)$有如下定義
1) $\varphi(x)$無限可微
2) 對於任意$m,n$有
$|x|^n\left| \frac{\partial ^m}{\partial x^m}\varphi(x) \right| \to 0 \quad as \quad x\to \pm\infty$
為什么速降函數是傅里葉變換的最佳函數呢？
1) 如果$\varphi(x)\in S$，那么有$\mathcal{F}\varphi(s) \in S$
2) $\varphi \in S \quad \Rightarrow \quad \mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}\varphi=\varphi \ ,\ \mathcal{F}\mathcal{F}^{-1}\varphi = \varphi $
$\Pi \notin S$，因為不連續。
$\Lambda \notin S$，因為不可微。
常數，$cos$，$sin$，$\notin S$，因為不速降。
那么我們是否還有其他的函數不屬於$S$?為了繼續了解這個問題，我們引入了新的概念。
分布（distribution）
這里的分布不同於概率上的分布，它是廣義上的函數（generalized function）的名稱。
脈沖函數$\delta$
$\delta$（脈沖函數）是一個典型的分布。
$\delta$代表了集中於一點的函數（$\delta$ is supposed to represent a function which is concerntrated at a point）,我們利用$\Pi$函數的寬度不斷縮小來逼近$\delta$。
$\delta = \displaystyle{\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon}\Pi_{\varepsilon}(x) }$
對$\delta$進行積分會得到1。
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\varepsilon}\Pi_{\varepsilon}(x)dx= \frac{1}{\varepsilon}\int_{-\frac{\varepsilon}{2}}^{\frac{\varepsilon}{2}}1dx = 1 \qquad, \varepsilon \to 0$
$\delta$與某個函數$\varphi(x)$相乘后再積分，會有如下結果
$\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\varepsilon}\Pi_{\varepsilon}(x)\varphi(x)dx
&= \frac{1}{\varepsilon}\int_{-\frac{\varepsilon}{2}}^{\frac{\varepsilon}{2}}\varphi(x)dx \\
&= \frac{1}{\varepsilon}\int_{-\frac{\varepsilon}{2}}^{\frac{\varepsilon}{2}}\left(\varphi(0)+\varphi'(0)x+\frac{1}{2}\varphi''(0)x^2+... \right )dx \qquad (Taylor \ series)\\
&= \varphi(0)+0(\varepsilon) \qquad (as\ \varepsilon\to 0, terms \ after \ \varphi(0) \ turn \ to \ 0 )\\
&= \varphi(0)
\end{align*}$
即，
$\displaystyle{\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\varepsilon}\Pi_{\varepsilon}(x)\varphi(x)dx = \varphi(0) }$
如果是單單觀察$\delta$函數，是毫無意義的，但是如果$\delta$乘上某個函數再積分，就能得到$f(x)$在$0$點的值，這也是$\delta$函數在實際應用中的通常用法。
分布的意義
1) 測試函數$\varphi$，即對於當前研究問題的最有函數。對於傅里葉領域，測試函數是速降函數（Schwartz 函數）。
2) 跟這些測試函數相關的，我們稱之為廣義函數或者分布。一個分布$T$是一個作用於測試函數的線性算子，它作用於測試函數后會產生一個數值，即$T(\varphi)$會得到一個數。$T$是$\varphi$的線性泛函，即有
$T(\varphi_1+\varphi_2) = T(\varphi_1)+T(\varphi_2) \quad , \quad T(a\varphi) = aT(\varphi)$
3) 如果$\varphi_n$是一個函數序列，它收斂於$\varphi$，那么如果用$T$作用於$\varphi_n$，他將收斂於$T$作用於$\varphi$。
$\varphi_n\to \varphi \quad \Rightarrow \quad T(\varphi_n)\to T(\varphi)$
functions function numbers number
分布作用於$\varphi$，我們通常稱之為匹配，記為$<T,\varphi>$。（也可以記為$T(\varphi)$，但$<T,\varphi>$更普遍）。
從分布的角度去看待$\delta$
$\delta$的作用是用來計算函數在原點處的值，這就是$\delta$的定義。給定一個測試函數$\varphi$，就可以知道$\delta$是如何作用於$\varphi$的
$<\delta,\varphi> = \varphi(0)$
線性：
$<\delta,\varphi_1+\varphi_2> = (\varphi_1+\varphi_2)(0) = \varphi_1(0)+\varphi_2(0) = <\delta,\varphi_1>+<\delta,\varphi_2>$
收斂性：
$<\delta,\varphi_n> = \varphi_n(0)$
$<\delta,\varphi> = \varphi(0)$
函數序列$\varphi_n$收斂於函數$\varphi$，那它們在零點處的值$\varphi_n(0)$肯定也收斂於$\varphi(0)$。
$\varphi_n\to \varphi \quad \Rightarrow \quad \varphi_n(0)\to \varphi(0) \quad \Rightarrow \quad <\delta, \varphi_n>\to <\delta,\varphi>$
$\delta$的移位
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-y)f(y)dy = f(x) }$
該式子表明了$\delta$從位置$x$處獲得函數$f$的值$f(x)$。我們前面討論的是$x=0$的情況，在這里，我們定義了一個新的分布$\delta_a$
$<\delta_a,\varphi> = \varphi(a)$
匹配運算
我們在討論速降函數的時候排除了$\Pi,\Lambda,sin,cos$常數等函數。現在，我們希望把這些函數拉入分布的行列。
比如說，我們怎樣把常數函數$f(x) = 1$看作一個分布？
我們首先需要知道它是如何作用於測試函數的，即怎么匹配$1$與$\varphi$。
匹配需要產生一個數值，它是通過積分來實現的。
$<1,\varphi> = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}1\varphi(x)dx }$
同理
$<\Pi,\varphi> = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\Pi(x)\varphi(x)dx}$
$<sin2\pi x,\varphi> = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}sin2\pi x\varphi(x)dx }$
匹配的運算過程，就是通過對$T$與$\varphi$的乘積進行積分
$<T,\varphi> = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}T(x)\varphi(x)dx }$
並非所有函數都會在匹配后積分收斂，但是大多數的函數，甚至特別奇異的函數都能使得積分收斂，匹配成立，因為測試函數是很優秀的。對於傅里葉變換來說，速降函數作為測試函數就足夠優秀，在這種情況下$\Pi,\Lambda,sin,cos$常數等函數都能作為分布進行積分。