DFT
離散傅里葉變換有定義如下
有離散信號$\underline{f}=\left( \underline{f}[0],\underline{f}[1],…,\underline{f}[N-1] \right)$，它的DFT是離散信號$\underline{\mathcal{F}f}\left( \underline{\mathcal{F}f}[0],\underline{\mathcal{F}f}[1],…,\underline{\mathcal{F}f}[N-1] \right)$
$\underline{\mathcal{F}f}[m] = \displaystyle{ \sum_{k=0}^{N-1}\underline{f}[k]e^{-2\pi ik\frac{m}{N}} }$
時域和頻域的倒數關系
我們回到連續信號，從頭開始推導這一關系。
設有一連續信號在時域與頻域同時受限，時域與頻域都有$N$個采樣點（上節課已推導過，時域與頻域抽樣點的數目是一樣的），時域采樣間隔為$\Delta t$，頻域采樣間隔為$\Delta s$，根據不同的$\Delta t$與$\Delta s$可以采集到不同的$\underline{f}$，與$\underline{\mathcal{F}f}$。
有$N\Delta t = L$，$L$為時間上的限制；$N\Delta s = 2B$，$2B$為帶寬限制。
$\Delta t \Delta s = \frac{L}{N}\cdot \frac{2B}{N} = \frac{2BL}{N^2} = \frac{N}{N^2} = \frac{1}{N}$
因此有
$\Delta t \Delta s = \frac{1}{N}$
時域的采樣間隔和頻域的采樣間隔會根據抽樣點數成倒數關系（reciprocity relationship）。這該關系對於進行DFT很有現實意義。如：當我們確定好時域的采樣間隔$\Delta t$與抽樣點數$N$時，頻域的采樣間隔$\Delta s$就被固定了，即頻域分辨率是由時域所做的選擇而確定的。（The resolution in frequency is determined by the choices you make in time.）
引入新符號$\underline{\omega}$
令$\underline{\omega}$為離散的復指數信號（或為復指數向量），且
$\underline{\omega} = \left( 1,e^{2\pi i\frac{1}{N}},e^{2\pi i\frac{2}{N}},…,e^{2\pi i\frac{N-1}{N}} \right)$
$\underline{\omega}[m] = e^{2\pi i\frac{m}{N}}$
那么對$\underline{\omega}$進行冪運算，有
$\underline{\omega}^n = \left(1,e^{2\pi i\frac{n}{N}},e^{2\pi i\frac{2n}{N}},…,e^{2\pi i\frac{n(N-1)}{N}} \right)$
$\underline{\omega}^{-n} = \left(1,e^{-2\pi i\frac{-n}{N}},e^{-2\pi i\frac{2n}{N}},…,e^{-2\pi i\frac{n(N-1)}{N}} \right)$
$\underline{\omega}^{-n}[m] = e^{-2\pi i\frac{mn}{N}}$
把它代入到DFT中，有
$\underline{\mathcal{F}f}[m] = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]e^{-2\pi i\frac{mn}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n] \underline{\omega}^{-n}[m] }$
隱藏序號$m$，則有
$\underline{ \mathcal{F}f} = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\omega}^{-n} }$
DFT特性
1) 輸入和輸出的周期性（The periodicity of the inputs and outputs）。
DFT的定義迫使我們把輸入$\underline{f}$與輸出$\underline{\mathcal{F}f}$不僅當作定義在$0$到$N-1$整數上的，並且是周期為$N$的周期離散函數，這是因為$\underline{\omega}$，它的離散復指數應該是一個周期為$N$的周期離散函數。我們將在下節課講述這一特性。
（The definition of DFT compels you to regard the input $\underline{f}$ output $\underline{\mathcal{F}f}$，its discrete Fourier transform as not just defined on the integers from $0$ to $N-1$，but as periodic discrete signals of period $N$. This is so because $\underline{\omega}$ itself，its discrete complex exponential should be – is naturally a periodic discrete signal of period $N$.）
2) 離散復指數的正交性（Orthogonality of the discrete complex exponentials）
回顧一下上述的離散復指數信號$\underline{\omega}$，
$\underline{\omega} = \left( 1,e^{2\pi i\frac{1}{N}},e^{2\pi i\frac{2}{N}},…,e^{2\pi i\frac{N-1}{N}} \right)$
$\underline{\omega}^k = \left(1,e^{2\pi i\frac{k}{N}},e^{2\pi i\frac{2k}{N}},…,e^{2\pi i\frac{k(N-1)}{N}} \right)$
如果$k\neq l$，則有$\underline{\omega}^k$與$\underline{\omega}^l$是正交的。
這里不把$\underline{\omega}$當作離散信號，而是把它當作$N$維向量，我們在討論傅里葉級數復指數的時候引入了正交，這里可謂它的離散版本，即
如果$k\neq l$，
$\begin{align*}
\underline{\omega}^k\cdot \underline{\omega}^l
&=\sum_{n=0}^{N-1}\underline{\omega}^k[n]\overline{\underline{\omega}^l[n]}\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}e^{2\pi i\frac{kn}{N}}\overline{e^{2\pi i\frac{ln}{N}}}\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}e^{2\pi i\frac{kn}{N}}e^{-2\pi i\frac{ln}{N}}\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}\left( e^{2\pi i\frac{k-l}{N}} \right)^n\\
&=\frac{1- \left( e^{2\pi i\frac{k-l}{N}} \right)^N }{1-e^{2\pi i\frac{k-l}{N}}} \qquad(Geometric\ Series,\quad because\ k\neq l,\ this\ fraction\ is\ ok)\\
&=\frac{1-e^{2\pi i(k-l)}}{1-e^{2\pi i\frac{k-l}{N}}}\\
&=\frac{1-(isin(2\pi(k-l))+cos(2\pi(k-l)))}{1-e^{2\pi i\frac{k-l}{N}}} \qquad (Eular\ formula)\\
&=\frac{1-(0+1)}{1-e^{2\pi i\frac{k-l}{N}}}\\
&=0
\end{align*}$
如果$k = l$，
$\begin{align*}
\underline{\omega}^k\cdot \underline{\omega}^l
&=\sum_{n=0}^{N-1}\underline{\omega}^k[n]\overline{\underline{\omega}^l[n]}\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}\left( e^{2\pi i\frac{k-l}{N}} \right)^n\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}(e^0)^n \qquad(k=l)\\
&=N
\end{align*}$
因此
$\underline{\omega}^k\cdot \underline{\omega}^l = \begin{cases} 0 & \text{,} k\neq l \\ N & \text{,} k=l \end{cases}$
當$l\neq k$時$\underline{\omega}^k$與$\underline{\omega}^l$是正交的，但是它們並不是標准正交，因為$\left\| \underline{\omega}^k \right\| = \underline{\omega}^k\cdot \underline{\omega}^k = N$而不是等於$1$，因此有時為了歸一為標准正交向量，會把$N$引入到$\underline{\omega}$中。
IDFT
離散傅里葉逆變換有公式如下
$\underline{\mathcal{F}^{-1}f}[m] = \displaystyle{ \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]e^{2\pi i \frac{mn}{N}} = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\omega}^n[m] }$
省略序號$m$，則
$\underline{\mathcal{F}^{-1}f} = \displaystyle{ \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\omega}^n }$
IDFT的職責是把進行了DFT的離散信號復原，即
$\underline{\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f} = \underline{f}$
$\underline{\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f}[m] = \underline{f}[m]$
證明過程需要用到$\underline{\omega}$的正交性質
$\begin{align*}
\underline{\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f}[m]
&=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\underline{\mathcal{F}f}[n]e^{2\pi i\frac{mn}{N}}\\
&=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\left( \sum_{k=0}^{N-1}\underline{f}[k]e^{-2\pi i\frac{kn}{N}} \right)e^{2\pi i\frac{mn}{N}}\\
&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\underline{f}[k]\left( \sum_{n=0}^{N-1}e^{-2\pi i\frac{kn}{N}}e^{2\pi i\frac{mn}{N}} \right)\\
&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\underline{f}[k]\left( \underline{\omega}^k \cdot \underline{\omega}^m \right)\\
&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}f[k]\cdot N \qquad \left( \underline{\omega}^k\cdot \underline{\omega}^m = \begin{cases} 0 & \text{,} k\neq m \\ N & \text{,} k=m \end{cases} \right)\\
&=f[m]
\end{align*}$