這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
本課程學習路線
從傅里葉級數開始，后續過渡到傅里葉變換。
扼要描述
- 傅里葉級數（fourier series），幾乎等同於周期性現象的學習。
- 傅里葉變換（fourier transform），可作為傅里葉級數的極限情況，是對非周期性現象的數學分析。
兩者間的共同點
- 分析（analysis），分解一個信號（函數），把它拆分成一系列組成部分，並希望這些組成部分比復雜的原始信號（函數）簡單。
- 合成（synthesis），把基本的組成部分重組成信號本身。
分析與合成總是成對出現，我們把復雜的信號分離成簡單信號，然后進行我們需要的處理，最后再組合成原始信號。
線性運算
傅里葉分析與合成是由線性運算完成的，線性運算包含有積分和序列。傅里葉分析經常被認為是線性分析的一部分。
周期性現象
周期性現象有兩種：
- 時間上的周期性
- 空間上的周期性
對稱性與周期性的關系
例：圓環上的熱量分布
在這個例子里面認為溫度不受時間影響，溫度與圓環的位置有關。
我們從圓環上的某點A測試圓環的溫度，然后沿着順時針方向一直測試，最終又會回到A點繼續順時針測試溫度，這樣我們就能得到呈現周期性的溫度值。
從上述測試我們可以得到初步結果：
目標（圓環）重復--->目標對稱--->相關值的周期性
這里引出一個論點：傅里葉分析通常與具有對稱性問題相關
周期性
- 在時域上，用頻率（frequency）表達。
- 在空域上，用周期（period）表達。
兩者有時會一起出現，如波動（wave motion）。
一個規則的波動含有波長（$\lambda$）與頻率（$\vartheta$）屬性。
- 波長，即某一時間點，一個完整波擾動的長度。
- 頻率，1秒內出現波擾動的次數。
兩者有以下關系：
設波的傳播速度為$v$，有
$v = \lambda \cdot \vartheta $
波長與頻率成反比例關系。在很多情況下，這種反比例關系能應用到傅里葉分析的復雜情況。
數學的引入
由於數學上有$sin$，$cos$，可以通過這些簡單的表達式來表示周期性現象。
$cos(T+2\pi) = cos(T)$
為什么$sin$、$cos$能表達空間上的周期性呢？因為$sin$與$cos$分別為單位圓的縱、橫坐標，而圓在空間上市重復的對稱的，走過一圈后會回到原點。
