X射線斷層攝影術（Tomography）
在商業上有兩種不同的成像方法：CT、MRI，兩種方法在實現方法上有部分相通的地方，這里講述的是CT。
假設上圖為一個身體剖面圖，內含有各種粘性物質，如骨頭、肌肉、血管、脊髓等，用可變密度函數$\mu(x_1,x_2)$來描述。如果我們知道$\mu$是什么，則代表我們可以知道該身體剖面的狀況。
關於$\mu$，在筆記中教授推薦我們去閱讀一本書《Naked to the Bone: Medical Imaging in the Twentieth Centry》，作者是Bettyann Kevels，書中有一段是這么描述$\mu$的：
Dimmer and dimmer What happens when light passes through murky water? It gets dimmer and dimmer the farther it goes, of couse – this is not a trick question. If the water is the same murkiness throughout, meaning, for example, uniform density of stuff floating around in it, then it's natuarl to assume that the intensity of light decreases by the same percent amount per length of path traveled. Through absorption, scattering, etc., whatever intensity comes in, a certain percentage of that intensity goes out; over a given distance the murky water removes a percentage of light, and this percentage depends only on the distance traveled and not where the starting and stopping points are. We're assuming here that light is traveling in a straight line through the water.
Constant percent change characterizes exponential growth, or decay, so the attenuation of the intensity of light passing through a homogeneous medium is modeled by
$I=I_0e^{-\mu x}$
where $I_0$ is the initial intensity, $x$ is the distance traveled, and $\mu$ is a (positive) “murkiness constant”, $x$ has dimension of length and $\mu$ has dimension 1/length and units “murkiness/length”. $\mu$ is constant because we assume that the medium is homogeneous. We know the value of $I_0$, and one measurement of $x$ and $I$ will determine $\mu$. In fact, what we do is to put a detector at a known distance $x$ and measure the intensity when it arrives at the detector.
越來越暗 當光線穿過渾濁的水時會發生什么呢？光線穿過的渾水越遠，就會變得越暗，當然，這是個顯而易見的問題。如果水有着相同的渾濁度呢？相同的渾濁度意味着有均勻密度的東西漂浮在水中，那么很自然地就能假設光的強度在沒穿過相同單位長度時都會有相同百分比的衰減。光在入射時，無論光的強度是多少，都會由於吸收，散射等原因，在出射時只剩下相當於入射光一定比率的強度，在通過一定距離的渾水時，當中一定比例的光會被消除，而這個比例只依賴於光傳播的距離而非入射點出射點。在這里我們認為光是直線傳播的。
光強度的變化是呈指數性的增長，或者說衰減的，因此光在均勻介質中傳播時，它的光強度衰減模型如下
$I=I_0e^{-\mu x}$
其中$I_0$是初始光強度，$x$是傳播距離，$\mu$是（正值）渾濁系數，$x$是以長度（length）為單位，$\mu$以長度的倒數（murkiness/length）為單位，$\mu$是一個常數，因為我們假設介質是均勻的。我們已知$I_0$，$x$可以通過測量得到，$I$決定了$\mu$是多少。實際上，我們要做的就是在一個已知的距離$x$處放置一個光強度的測量儀器。
Now suppose the water is not uniformly murky, but rather the light passes through a number of layers, each layer of uniform murkiness. If the i'th layer has murkiness costant $\mu_i$ and is length $\Delta x_i$, and if there are $n$ layers, then the intensity of light that reaches the detector can be modeled by
$\displaystyle{I=I_0 exp\left( –\sum_{i=1}^{n}\mu_i\Delta x_i \right)}$
Clearly, if the murkiness is describled by a function $\mu(x)$, then the intensity arriving at the detector is modeled by
$\displaystyle{ I=I_0 exp\left( –\int_L \mu(x) dx \right) }$
where $L$ is the line the light travels along. It's common to call the number
$p=\displaystyle{ \int_L \mu(x)dx = –ln\left( \frac{I}{I_0} \right) }$
現在假設水不是均勻渾濁的，那我們就可以把光通過的部分當成很多渾濁的小塊組成。如果第$i$塊的渾濁度為$\mu_i$，並且它的長度為$\Delta x_i$，一共有$n$個小塊，那么光強度模型變成
$\displaystyle{I=I_0 exp\left( –\sum_{i=1}^{n}\mu_i\Delta x_i \right)}$
如果這條光線上的水的渾濁度用$\mu(x)$來表示的話，那么光強度模型會進一步變成
$\displaystyle{ I=I_0 exp\left( –\int_L \mu(x) dx \right) }$
$L$代表光線（光通過的軌跡），通常來說，下面這個數字就是衰減系數
$p=\displaystyle{ \int_L \mu(x)dx = –ln\left( \frac{I}{I_0} \right) }$
拉東變換（The Radon Transform）
我們在成像的時候，是需要知道整個身體剖面的密度，即$\mu(x_1,x_2)$，那么上面的式子就變成
$\displaystyle{ \mathcal{R}_L\mu = \int_L \mu(x_1,x_2)dx_1dx_2 }$
這個式子代表了對$\mu$進行拉東變換，其中$\mathcal{R}$表示拉東變換，變量為直線$L$，對不同的直線進行變換會得到不同的結果。
那么對直線上的部分進行積分該怎么表示呢？
1. 設定一個式子來表示直線
笛卡爾坐標系：
$kx_1+b=x_2$
不同的$k$與$b$可以得到不同的直線，但是實際上這種表示方式並不適用於求解當前問題
角坐標系：
直線到原點的距離為$\rho$，法向量的角度為$\phi$。
如何同這兩個值來表示直線？
單位法向量為$\underline{n}(cos\phi,sin\phi)$，直線上的任意一點為$x_1,x_2$。
它們有個規律：直線上所有的點在單位法向量上的投影為$\rho$，即有
$\rho=\underline{n}\cdot\underline{x} = x_1cos\phi + x_2 sin\phi$
2. 設定一個表示在直線上積分的式子
我們需要表示出在該直線上積分，也就是說需要從$\mu(x_1,x_2)$中抽取出該直線位置上的值，可以用脈沖函數實現，設想一下該直線上全是脈沖函數，表示如下
$\delta(\rho-x_1 cos\phi-x_2 sin\phi)$
運用$\delta$的采樣特性就能得到$\mu(x_1,x_2)$在該直線位置上的部分
$\mu(x_1,x_2)\delta(\rho-x_1 cos\phi –x_2 sin\phi)$
那么拉東變換最終變成
$\mathcal{R}_L \mu=\mathcal{R}\mu(\rho,\phi) = \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mu(x_1,x_2)\delta(\rho-x_1cos\phi-x_2sin\phi)dx_1dx_2 } \qquad (-\infty<\rho<\infty,0\leqslant \phi < \pi)$
用向量形式表示為
$\displaystyle{ \mathcal{R}\mu(\rho,\underline{n})=\int_{\mathbb{R}^2}\mu(\underline{x})\delta(\rho-\underline{x}\cdot\underline{n})d\underline{x} }$
拉東逆變換（Inverting the Radon Transform）
在醫學圖像成像時，是通過x射線穿過人體來實現的，射線穿過人體后會衰減，然后被儀器測量到，也就是說我們已經知道了拉東變換的結果，需要通過這個結果還原出射線穿過的人體剖面，這個還原的過程被稱為拉東逆變換。
拉東變換后有兩個變量：直線與原點的距離$\rho$，直線的法向量角度$\phi$。
現在令$\phi$不變，即穿過人體剖面的射線角度固定，那么有唯一的變量$\rho$
此時對$\mathcal{R}\mu$進行傅里葉變換（變量為$\rho$）
$\begin{align*}
\mathcal{F}_{\rho}\mathcal{R}\mu(r,\phi)
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i r\rho}\mathcal{R}\mu(\rho,\phi)d\rho \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i r\rho}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mu(x_1,x_2)\delta(\rho-x_1cos\phi-x_2sin\phi)dx_1dx_2 \right )d\rho\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mu(x_1,x_2)\left(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\rho-x_1cos\phi-x_2sin\phi)e^{-2\pi i r\rho}d\rho \right )dx_1dx_2\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mu(x_1,x_2)e^{-2\pi ir(x_1cos\phi+x_2sin\phi)}dx_1dx_2 \qquad (\delta\ shift\ property)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mu(x_1,x_2)e^{-2\pi i(x_1rcos\phi+x_2rsin\phi)}dx_1dx_2\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mu(x_1,x_2)e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2)}dx_1dx_2 \qquad \left(letting\ \begin{cases}
\xi_1=rcos\phi \\
\xi_2=rsin\phi
\end{cases} \right )
\end{align*}$
用向量形式表示為
$\displaystyle{ \mathcal{F}_{\rho}\mathcal{R}\mu(\underline{\xi})=\int_{\mathbb{R}^2}e^{-2\pi i\underline{x}\cdot\underline{\xi}}\mu(\underline{x})d\underline{x} }$
如此一來就變成了對$\mu(x_1,x_2)$進行二維傅里葉變換，即
$\mathcal{F}_{\rho}\mathcal{R}\mu(r,\phi)=\mathcal{F}\mu(\xi_1,\xi_2) \qquad \begin{cases} \xi_1=rcos\phi \\ \xi_2=rsin\phi \end{cases}$
那么對這個結果進行傅里葉逆變換就能得到原來的人體剖面圖$\mu$
醫學圖像成像流程總結
1. 以人的身體為中心，兩邊分別有x射線源以及接收傳感器，而且可以繞中心旋轉，可變角度為$0\leqslant \phi < \pi$
2. 一簇角度為$\phi$的並行x射線從源發射到傳感器接收，其中穿過的部分為人體剖面，密度未知，用$\mu(x_1,x_2)$表示。
傳感器接收到的數據可用來計算出x射線的衰減，用$g_{\phi}(\rho)$表示，其中$\phi$表示某固定角度，$\rho$表示該簇並行的x射線中某一束射線與中心點的距離
3. 角度$\phi$需要從$0$到$\pi$變換，而對於每一個角度$\phi$都需要計算$\mathcal{F}g_{\phi}(r)$，也就是$g_{\phi}(\rho)$的傅里葉變換
4. 由於
$\mathcal{F}g_{\phi}(r)=\mathcal{F}\mu(\xi_1,\xi_2) \qquad \begin{cases} \xi_1=rcos\phi \\ \xi_2=rsin\phi \end{cases}$
$r$本身就是變量，有$-\infty<r<\infty$，那么我們通過改變角度$\phi$（從$0$到$\pi$）即可得到任意$\xi_1,\xi_2$，因此能涵蓋$\mathcal{F}\mu(\xi_1,\xi_2)$的所有范圍。
5. 最后對上述結果進行二維傅里葉逆變換就可以復原人體剖面圖像$\mu$
$\mu(\underline{x}) = \displaystyle{ \int_{\mathbb{R}^2}e^{2\pi i\underline{x}\cdot\underline{\xi}}\mathcal{F}\mu(\underline{\xi})d\underline{\xi} }$
當然，實際的數據操作肯定是離散的，因此運用的是DFT。另外還有一些其它的注意事項，有興趣可以去查看本課程的筆記