這節課主要講傅里葉變換的計算，由於高維傅里葉變換有多個變量，多重積分，因此在計算時會有較大的困難。不過某些函數會有較為簡捷的計算方式，下面來分析兩類這樣的函數。
可分離函數
有一類函數的高維傅里葉變換能通過計算一系列低維傅里葉變換來得到，這類函數被稱為可分離函數。（There's an important class of functions for which you can compute a higher-dimensional transform by computing a series of lower-dimensional transforms. These are separate functions.）
例一
二維矩形函數$\Pi(x_1,x_2)$
$\Pi(x_1,x_2)=\begin{cases}
1 & \text{ , } |x_1|<\frac{1}{2}\ \& \ |x_2|<\frac{1}{2} \\
0 & \text{ , } otherwise
\end{cases}$
另外，該函數也可以寫成兩個一維矩形函數的乘積
$\Pi(x_1,x_2) = \Pi(x_1)\Pi(x_2)$
它的傅里葉變換為
$\begin{align*}
\mathcal{F}f(\xi_1,\xi_2)
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2)}\Pi(x_1,x_2)dx_1dx_2\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ix_1\xi_1}e^{-2\pi ix_2\xi_2}\Pi(x_1)\Pi(x_2)dx_1dx_2\\
&=\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ix_1\xi_1}\Pi(x_1)dx_1 \right )\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ix_2\xi_2}\Pi(x_2)dx_2 \right )\\
&=\mathcal{F}\Pi(\xi_1)\mathcal{F}\Pi(\xi_2)\\
&=(sinc\xi_1)(sinc\xi_2)
\end{align*}$
一般來說，如果一個高維函數能寫成低維函數的乘積，那么該高維函數的傅里葉變換也能寫成這些低維函數的傅里葉變換的乘積。
$f(x_1,x_2,…,x_n) = f_1(x_1)f_2(x_2)…f_n(x_n)$
$\Rightarrow \mathcal{F}f(\xi_1,\xi_2,…,\xi_n) = \mathcal{F}f_1(\xi_1)\mathcal{F}f_2(\xi_2)…\mathcal{F}f_n(\xi_n)$
例二
二維高斯函數
$g(x_1,x_2) = e^{-\pi(x_1^2+x_2^2)}$
它可以分成兩個一維高斯函數的乘積
$g(x_1,x_2) = e^{-\pi x_1^2}e^{-\pi x_2^2} = g_1(x_1)g_2(x_2)$
它的傅里葉變換為
$\begin{align*}
\mathcal{F}g(\xi_1,\xi_2)
&=\mathcal{F}g_1(\xi_1)\mathcal{F}g_2(x_2)\\
&=e^{-\pi\xi_1^2}e^{-\pi\xi_2^2}\\
&=e^{-\pi(\xi_1^2+\xi_2^2)}
\end{align*}$
（二維）高斯函數的傅里葉變換是它自身。
徑向函數（radial function）
二維高斯函數就是徑向函數的一個例子，它是圓對稱的。當我們引入極坐標系時，有
$\left.\begin{matrix}
r=\sqrt{x_1^2+x_2^2} \\
\theta=arctan\frac{x_2}{x_1}
\end{matrix} \quad \right| \quad
\left.\begin{matrix}
x_1=rcos\theta \\
x_2=rsin\theta
\end{matrix} \right.$
那么二維高斯函數就可以變為
$g(x_1,x_2) = e^{-\pi(x_1^2+x_2^2)} = e^{-\pi r^2}$
它只依賴於$r$而並非單獨的$x_1,x_2$，這就是徑向函數的定義。徑向函數只依賴於到某原點的距離$r$。
徑向函數有一個特點：徑向函數的傅里葉變換仍是一個徑向函數。
證明過程如下：
把笛卡爾坐標系下的傅里葉變換轉換成極坐標系形式
笛卡爾坐標系下的傅里葉變換有如下形式
$\displaystyle{ \mathcal{F}f(\xi_1,\xi_2)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2)}f(x_1,x_2)dx_1dx_2 }$
變量進行極坐標轉換
$\begin{matrix}
x_1=rcos\theta &\qquad \xi_1=\rho cos\varphi \\
x_2=rsin\theta &\qquad \xi_2=\rho sin\varphi
\end{matrix}$
假設$f$是一個徑向函數，則$f(x_1,x_2) = f(f)$，$dx_1dx_2$通過極坐標轉變成了$rdrd\theta$
復指數內的變量內積變成
$\begin{align*}
x_1\xi_1+x_2\xi_2
&=rcos\theta \rho cos\varphi+rsin\theta \rho sin\varphi\\
&=r\rho(cos\theta cos\varphi+sin\theta sin\varphi)\\
&=r\rho cos(\theta-\varphi)
\end{align*}$
把上述變量代入笛卡爾坐標系下的傅里葉變換式，有
$\begin{align*}
& \quad \int_0^{\infty}\int_0^{2\pi}e^{-2\pi ir\rho cos(\theta-\varphi)}f(r)rdrd\theta\\
&=\int_0^{\infty}\left(\int_0^{2\pi}e^{-2\pi ir\rho cos(\theta-\varphi)}d\theta \right )f(r)rdr\\
&=\int_0^{\infty}\left(\int_0^{2\pi}e^{-2\pi ir\rho cos\theta}d\theta \right )f(r)rdr \\
&\quad (cos\ is\ a\ periodic\ function\ of\ 2\pi\ ,shift\ won't\ effect\ its\ integral)
\end{align*}$
我們把括號內的積分定義成一個函數
$\displaystyle{ J_0(a) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-iacos\theta}d\theta }$
$J_0(a)$被稱為第一類0階貝塞爾函數（0'th order bessel function of the first kind），貝塞爾還有其它類，其它階的函數，它們常出現在徑向函數出現的情景中。
結果是，徑向函數的二維傅里葉變換通過極坐標系的轉換最終變成
$\displaystyle{ \mathcal{F}f(\rho)=2\pi\int_{0}^{\infty}f(r)J_0(2\pi r\rho)rdr }$
它是一個只依賴於$\rho$的函數，而$\varphi$已經在前面對$\theta$的積分處被消除。這個變換被稱為0階漢高變換（0'th order Henkel transformation）。這也證明了徑向函數的傅里葉變換仍然是徑向函數。
高維傅里葉變換的卷積定理
與一維傅里葉變換的卷積定理一樣，它們在高維同樣適用
向量形式
$\displaystyle{ (f*g)(\underline{x})=\int_{\mathbb{F}^n}f(\underline{x}-\underline{y})g(\underline{y})d\underline{y} }$
二維分量形式
$\displaystyle{ (f*g)(x_1,x_2)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x_1-y_1,x_2-y_2)g(y_1,y_2)dy_1dy_2 }$
以前在分析一維傅里葉變換卷積時，我們不推薦在時域分析卷積，而是把卷積當作是頻域的乘積。同樣，在這里我們也不推薦在空域分析卷積，因為更多的變量會帶來更復雜的思考，幸運的是，卷積在傅里葉變換上的公式在高維仍然適用，即
$\mathcal{F}(f*g)=\mathcal{F}f\mathcal{F}g$
$\mathcal{F}(fg)=\mathcal{F}f * \mathcal{F}g$