這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
分布的導數（Derivative of a Distribution）
設有分布$T$，其導數為$T'$
$\begin{align*}
<T',\varphi>
&= \int_{-\infty}^{\infty}T'(x)\varphi(x)dx \\
&= \left[T(x)\varphi(x) \right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}T(x)\varphi'(x)dx\\
&= 0-\int_{-\infty}^{\infty}T(x)\varphi'(x)dx \quad (\lim_{x\to \pm\infty}\varphi(x)=0)\\
&= -<T,\varphi'>
\end{align*}$
由速降函數可知，速降函數的任意階導都比$x$的任意次冪衰減地都快，即速降函數的任意階導都是速降函數。因此$\varphi'\in S$，$<T,\varphi'>$仍然成立。分布的導數$T'$有如下定義：
$<T',\varphi> = –<T,\varphi'>$
分布導數例子
1. 單位躍階函數（Unit Step function）$U(x)$
$U(x)=\begin{cases}
1 & \text{ , } x>0\\
0 & \text{ , } x\leqslant 0
\end{cases}$
$\begin{align*}
<U',\varphi>
&=-<U,\varphi'>\\
&=-\int_{-\infty}^{\infty}U(x)\varphi'(x)dx\\
&=-\int_{0}^{\infty}\varphi'(x)dx\\
&=-\left[\varphi(x) \right]_0^{\infty}\\
&=-(0-\varphi(0)) \quad (\lim_{x\to \pm\infty}\varphi(x)=0)\\
&=\varphi(0)\\
&=<\delta,\varphi>
\end{align*}$
因此，
$U'=\delta$
2. 有符號函數（Signum function）$sgn(x)$如下
$sgnx=\begin{cases}
1 & \text{ , } x>0 \\
0 & \text{ , } x=0 \\
-1 & \text{ , } x<0
\end{cases}$
$\begin{align*}
<sgn',\varphi>
&=-<sgn,\varphi'>\\
&=-\int_{-\infty}^{\infty}sgn(x)\varphi'(x)dx\\
&=-\left(\int_{-\infty}^0-1\varphi'(x)dx+\int_0^{\infty}1\varphi'(x)dx \right )\\
&=-\left(\int_{0}^{\infty}\varphi'(x)dx+\int_{0}^{\infty}1\varphi'(x)dx \right )\\
&=-2[\varphi(x)]_0^{\infty} \\
&=2\varphi(0)\quad (\lim_{x\to\pm\infty}\varphi(x)=0)\\
&=<2\delta,\varphi>
\end{align*}$
因此
$sgn'=2\delta$
分布傅里葉變換的導數定理
與傳統傅里葉變換一樣，分布有如下等式
$\mathcal{F}(T')=2\pi is\mathcal{F}T$
$(\mathcal{F}T)'=\mathcal{F}(-2\pi itT)$
與傳統傅里葉變換的導數定理不同的是，這兩個等式是聯合分布於測試函數進行匹配后推導得來的，在這里不再記錄推導過程。
導數定理應用的例子
1.求$sgn$的傅里葉變換
$\begin{align*}
\mathcal{F}(sgn)
&= \frac{\mathcal{F}(sgn')}{2\pi is}\\
&= \frac{\mathcal{F}(2\delta)}{2\pi is}\\
&= \frac{2}{2\pi is}\\
&= \frac{1}{\pi is}
\end{align*}$
2.求$U$的傅里葉變換
$U=\frac{1}{2}(1+sgn)$
$\mathcal{F}U=\frac{1}{2}\mathcal{F}(1+sgn)=\frac{1}{2}\left(\delta+\frac{1}{\pi is}\right)$
在高通濾波器中會用到$U$（單位躍階）這個信號，采用$U$的傅里葉變換將會加快處理過程。
分布的乘積（multiplication）
函數間是可以相乘的，但是這種算法不能直接移到分布中，即，如果有分布$S,T$，$ST$是未定義的，乘積必須符合某些條件。
設有分部$T$，函數$f$
$<Tf,\varphi>=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}T(x)f(x)\varphi(x)dx }=<T,f\varphi>$
根據上述式子可以得出以下結論
- 如果$f\varphi$也是測試函數，即$f\varphi\in S$，則$Tf$也是一個分布，該乘積成立。
在分布的傅里葉變換導數定理中，我們用到了乘法，也是基於上述結論：
1.
$\mathcal{F}(T')=2\pi is\mathcal{F}T$
在等式右邊，分布為$\mathcal{F}T$，函數為$2\pi is$，只有$2\pi is\mathcal{F}T$有意義時，整個式子才有意義，而只有$2\pi is\varphi$為測試函數時，$2\pi is\mathcal{F}T$才有意義。
2.
$(\mathcal{F}T)'=\mathcal{F}(-2\pi itT)$
等式右邊，分布為$T$，函數為$-2\pi it$，只有$-2\pi itT$有意義時，整個式子才有意義。而又只有$-2\pi it\varphi$是測試函數時，$-2\pi itT$才有意義。
$\delta$的抽樣特性（sampling property of $\delta$）
設有函數$f$
\begin{align*}
<f\delta,\varphi>
&=<\delta,f\varphi>\\
&=(f\varphi)(0)\\
&=f(0)\varphi(0)\\
&=<f(0)\delta,\varphi>
\end{align*}
因此
$f\delta=f(0)\delta$
同理有
$f\delta_a=f(a)\delta_a$
$\delta$的這種特性被稱為抽樣特性，我們會經常用到這種特性
分布的卷積（Convolution）
如分布的乘積，分布的卷積也有特定的限制。
首先假設有函數$f$與速降函數$\psi$，他們的卷積為$\psi * f$
$\begin{align*}
<\psi*f,\varphi>
&=\int_{-\infty}^{\infty}(\psi*f)(x)\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x-y)f(y)dy \right)\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x-y)\varphi(x)dx \right )f(y)dy\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\psi^-(y-x)\varphi(x)dx \right)f(y)dy \quad (\psi(x-y)=\psi(-(y-x))=\psi^-(y-x))\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}(\psi^- *\varphi)(y)f(y)dy\\
&=<f,\psi^- *\varphi>
\end{align*}$
進一步推導，
$\begin{align*}
\psi^- *\varphi
&=\int_{-\infty}^(\infty)\psi(x-y)\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\psi(u)\varphi(u+y)du \quad(u=x-y)\\
&=<\psi(u),\varphi(u+y)>
\end{align*}$
把推導結果代入卷積的推導中，得
$<\psi * f,\varphi>=<f(x),<\psi(y),\varphi(x+y)>>$
推廣到一般的分布中，設有分布$S,T$
$<S*T,\varphi>=<S(x),<T(y),\varphi(x+y)>>$
分布的卷積成立的條件如下：
- $<T(y),\varphi(x+y)>$將產生一個變量為$x$的函數，只有當該函數為測試函數時，$S*T$才有意義。
分布的卷積定理
我們在分析傳統傅里葉變換的卷積定理的時候，是結合卷積與傅里葉變換一起討論的。在分布中，通常也會把卷積與傅里葉變換一起討論。
$\begin{align*}
<\mathcal{F}(S*T),\varphi>
&=<S*T,\mathcal{F}\varphi>\\
&=<S,T^-*\mathcal{F}\varphi> \quad (T^-*\varphi\ make\ sence \Rightarrow T^-*\mathcal{F}\varphi \ make\ sence)\\
&=<S,\mathcal{F}\mathcal{F}T*\mathcal{F}\varphi> \quad (Fourier\ Transform\ Duality)\\
&=<S,\mathcal{F}(\mathcal{F}T\cdot\varphi)>\\
&=<\mathcal{F}S,\mathcal{F}T\cdot\varphi>\\
&=<\mathcal{F}S\mathcal{F}T,\varphi>
\end{align*}$
因此
$\mathcal{F}(S*T)=\mathcal{F}S\mathcal{F}T$
該定理成立的條件與卷積成立的條件一致，即$T^-$與速降函數進行卷積后仍然是速降函數。
$\delta$的平移特性
設有函數$f$，$f$與$\delta$進行卷積
$\begin{align*}
<f*\delta,\varphi>
&=<f(x),<\delta(y),\varphi(x+y)>>\\
&=<f(x),\varphi(x+0)>\\
&=<f(x),\varphi(x)>\\
&=<f,\varphi>
\end{align*}$
因此
$f* \delta = f$
$f$與$\delta_a$進行卷積
$\begin{align*}
<f*\delta_a,\varphi>
&=<f(x),<\delta_a(y),\varphi(x+y)>>\\
&=<f(x),\varphi(x+a)>\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\varphi(x+a)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(u-a)\varphi(u)du \quad (u=x+a)\\
&=<f(u-a),\varphi>
\end{align*}$
$f$與$\delta_a$進行卷積會導致$f$右移$a$個單位
$f(x)* \delta_a(x) = f(x-a)$
同理可以推導出
$\delta* \delta=\delta$
$\delta_a * \delta_b = \delta_{a+b}$
$\delta$的縮放特性
$\delta(x)$是集中於一點的脈沖函數，因此按照我們主觀的印象來說，無論怎么在$x$軸對其縮放，都還是原來的脈沖函數，但是事實並不是這樣的，我們可以觀察下面的推理過程
當$a>0$
$\begin{align*}
<\delta(ax),\varphi(x)>
&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(ax)\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(u)\varphi(\frac{u}{a})d(\frac{u}{a}) \quad (u=ax)\\
&=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(u)\varphi(\frac{u}{a})du\\
&=\frac{1}{a}<\delta(u),\varphi(\frac{u}{a})>\\
&=\frac{1}{a}\varphi(0)\\
&=<\frac{1}{a}\delta(x),\varphi(x)>
\end{align*}$
當$a<0$
$\begin{align*}
<\delta(ax),\varphi(x)>
&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(ax)\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(u)\varphi(\frac{u}{a})d(\frac{u}{a}) \quad (u=ax)\\
&=\frac{1}{a}\int_{\infty}^{-\infty}\delta(u)\varphi(\frac{u}{a})du\\
&=-\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(u)\varphi(\frac{u}{a})du\\
&=-\frac{1}{a}<\delta(u),\varphi(\frac{u}{a})>\\
&=-\frac{1}{a}\varphi(0)\\
&=<-\frac{1}{a}\delta(x),\varphi(x)>\\
\end{align*}$
因此
$\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta$
結果顯示我們在橫軸對脈沖函數縮放，其縮放的結果會反映到縱軸上。
注：本節課的所有推導都是為了引出$\delta$的相關特性，而我們在后面會經常用到這些性質。