DFT在零點
$\underline{\mathcal{F}}\underline{f}(0) = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]e^{-2\pi i\frac{n0}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n] }$
還記得傅里葉變換在零點處也有類似的式子
$\mathcal{F}f(0) = \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-2\pi i0t}dt = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt }$
如此看來，離散傅里葉變換與傅里葉變換還是很相似的。
典型的離散信號以及它們的DFT
1. 典型的離散信號
離散信號$\underline{1}$在各采樣點的采樣值都為$1$
$\underline{1} = (1,1,…,1)$
離散信號$\underline{\delta_0}$只有在零點處才有為$1$的脈沖
$\underline{\delta_0} = (1,0,0,…,0)$
離散信號$\underline{\delta_k}$只有在第$k$項處，才有為$1$的脈沖
$\underline{\delta_k} = (\underbrace{0,0,...,0,1}_{k\ entries},0,...,0)$
2. 典型離散信號的DFT
對$\underline{\delta_0}$進行DFT
$\underline{\mathcal{F}}\underline{\delta_0} = \displaystyle{\sum_{n=0}^{N-1}\underline{\delta_0}[n] \underline{\omega}^{-n} = \underline{\delta_0}[0]\underline{\omega}^0 = 1\cdot \underline{\omega}^0 = (1,1,…,1) = \underline{1}}$
因此
$\underline{\mathcal{F}}\underline{\delta_0}=\underline{1}$
對$\underline{\delta_k}$進行DFT
$\underline{\mathcal{F}}\underline{\delta_k} = \displaystyle{\sum_{n=0}^{N-1}\underline{\delta_k}[n] \underline{\omega}^{-n} = \underline{\delta_k}[k]\underline{\omega}^{-k} = 1\cdot \underline{\omega}^{-k} = \underline{\omega}^{-k}}$
因此
$\underline{\mathcal{F}}\underline{\delta_k} = \underline{\omega}^{-k}$
對$\underline{\omega}^{k}$進行DFT
$\begin{align*}
\underline{\mathcal{F}}\underline{\omega}^{k}[m]
&=\sum_{n=0}^{N-1}\underline{\omega}^k[n]\underline{\omega}^{-n}[m]\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}e^{2\pi i\frac{kn}{N}}\cdot e^{-2\pi i\frac{mn}{N}}\\
&=\underline{\omega}^k\cdot\underline{\omega}^m\\
&=\begin{cases}
0 & \text{ , } k\neq m \\
N & \text{ , } k= m
\end{cases}
\end{align*}$
因此
$\underline{\mathcal{F}}\underline{\omega}^k = (\underbrace{0,0,...,0,N}_{k\ entries},0,...,0) = N\underline{\delta_k}$
DFT矩陣
1. DFT矩陣的定義
令$\omega = e^{2\pi i\frac{1}{N}}$，請注意，這里的$\omega$沒有下划線，並不是離散信號。則有
$\omega^{-mn} = e^{-2\pi i\frac{mn}{N}}$
DFT的變換式可以寫成
$\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m] = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{N-1}\omega^{-mn} \underline{f}[n]}$
如此一來，上式呈現了一種新的表述，即對離散信號$\underline{f}$進行DFT就相當於用$\underline{f}$與矩陣$\left( \omega^{-} \right)^{mn}$相乘，$mn$為該矩陣的$m$行$n$列
$\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &... &1 \\
1 &\omega^{-1} &\omega^{-2} &... &\omega^{-(N-1)} \\
1 &\omega^{-2} &\omega^{-4} &... &\omega^{-2(N-1)} \\
\vdots &\vdots &\vdots &... & \vdots\\
1 &\omega^{-(N-1)} &\omega^{-2(N-1)} &... &\omega^{-(N-1)^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\underline{f}[0]\\
\underline{f}[1]\\
\underline{f}[2]\\
\vdots\\
\underline{f}[N-1]
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[0]\\
\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[1]\\
\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[2]\\
\vdots\\
\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[N-1]
\end{pmatrix}$
上述式子左邊的矩陣就是DFT矩陣，DFT矩陣是一個$N\times N$的矩陣，可以用下面的式子表達
$(\mathcal{F})_{nm} = \omega^{-nm}$
2. DFT矩陣的共軛轉置
對DFT矩陣$\mathcal{F}$進行共軛轉置，即
$(\mathcal{F}^{*})_{nm} = \overline{(\underline{\mathcal{F}})_{mn}} = \overline{\omega^{-mn}} = \omega^{mn}$
DFT矩陣與它的共軛轉置矩陣相乘，有
$\underline{\mathcal{F}}\underline{\mathcal{F}}^{*} =
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &... &1 \\
1 &\omega^{-1} &\omega^{-2} &... &\omega^{-(N-1)} \\
1 &\omega^{-2} &\omega^{-4} &... &\omega^{-2(N-1)} \\
\vdots &\vdots &\vdots &... & \vdots\\
1 &\omega^{-(N-1)} &\omega^{-2(N-1)} &... &\omega^{-(N-1)^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &... &1 \\
1 &\omega^{1} &\omega^{2} &... &\omega^{(N-1)} \\
1 &\omega^{2} &\omega^{4} &... &\omega^{2(N-1)} \\
\vdots &\vdots &\vdots &... & \vdots\\
1 &\omega^{(N-1)} &\omega^{2(N-1)} &... &\omega^{(N-1)^2}
\end{pmatrix}$
$=
\begin{pmatrix}
\underline{\omega}^0\cdot\underline{\omega}^0 &\underline{\omega}^1\cdot\underline{\omega}^0 &\underline{\omega}^2\cdot\underline{\omega}^0 &... &\underline{\omega}^{N-1}\cdot\underline{\omega}^0 \\
\underline{\omega}^0\cdot\underline{\omega}^1 &\underline{\omega}^1\cdot\underline{\omega}^1 &\underline{\omega}^2\cdot\underline{\omega}^1 &... &\underline{\omega}^{N-1}\cdot\underline{\omega}^1 \\
\underline{\omega}^0\cdot\underline{\omega}^2 &\underline{\omega}^1\cdot\underline{\omega}^2 &\underline{\omega}^2\cdot\underline{\omega}^2 &... &\underline{\omega}^{N-1}\cdot\underline{\omega}^2 \\
\vdots &\vdots &\vdots &... & \vdots\\
\underline{\omega}^0\cdot\underline{\omega}^{N-1} &\underline{\omega}^1\cdot\underline{\omega}^{N-1} &\underline{\omega}^2\cdot\underline{\omega}^{N-1} &... &\underline{\omega}^{N-1}\cdot\underline{\omega}^{N-1} \\
\end{pmatrix}\qquad\qquad\qquad\qquad$
$=\begin{pmatrix}
N &0 &0 &... &0 \\
0 &N &0 &... &0 \\
0 &0 &N &... &0 \\
\vdots &\vdots &\vdots &... &\vdots \\
0 &0 &0 &... &N
\end{pmatrix} \qquad \left(
\underline{\omega}^l\cdot\underline{\omega}^k = \begin{cases}
0 & \text{ , } k\neq l \\
N & \text{ , } k= l
\end{cases}
\right)\qquad\qquad\qquad\qquad$
$= NI \qquad (I\ is\ N\times N\ identity\ matrix)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
因此
$\underline{\mathcal{F}}\underline{\mathcal{F}}^{*} = NI$
同理可得
$\underline{\mathcal{F}}^{*}\underline{\mathcal{F}} = NI$
3. IDFT矩陣
通過上述轉置矩陣的運算結果結果，可以得到IDFT矩陣為
$\underline{\mathcal{F}}^{-1} = \frac{1}{N}\underline{\mathcal{F}}^{*}$
即
$\left( \underline{\mathcal{F}}^{-1} \right)_{mn} = \frac{1}{N}\omega^{mn}$
這個結果同樣也能運用推導DFT矩陣的過程得出。
4. DFT矩陣運算復雜度
運算復雜度這里是值矩陣運算中乘法運算的數目，$\underline{\mathcal{F}}\underline{f}$的每一項運算會花費$N$個乘法運算，其中共有$N$項，即運算復雜度為$N\times N$，用$O(N^2)$表示。
FFT算法的目的就是為了減少DFT的運算復雜度，FFT的復雜度為$O(NlogN)$。
DFT特性
我們上節課遺留下來了，關於DFT特性的討論：輸入和輸出都是周期為$N$的周期離散函數。得出這個結論是因為離散復指數具有周期性。
1. 輸入與輸出離散信號周期性的證明
證明過程如下：
$\underline{\omega}[m] = e^{2\pi i \frac{m}{N}}$
$\underline{\omega}[m+N] = e^{2\pi i\frac{m+N}{N}} = e^{2\pi i\frac{m}{N}}\cdot e^{2\pi i}=e^{2\pi i\frac{m}{N}} = \underline{\omega}[m]$
同理
$\underline{\omega}^{n}[m] = \underline{\omega}^n[m+N] \qquad \underline{\omega}^{-n}[m] = \underline{\omega}^{-n}[m+N]$
即$\underline{\omega},\underline{\omega}^n,\underline{\omega}^{-n}$都是周期為$N$的離散復指數信號。
由上述結論推廣到DFT
$\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m+N] = \displaystyle{\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\omega}^{-n}[m+N]= \sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\omega}^{-n}[m]} = \underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m]$
因此$\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m+N] = \underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m]$，表明了對離散信號$\underline{f}$進行DFT后會得到周期為$N$的離散信號。
同理，推廣到IDFT
$\underline{\mathcal{F}}^{-1}\underline{f}[m+N] = \frac{1}{N}\displaystyle{\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\omega}^{n}[m+N]= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\omega}^{-n}[m]} = \underline{\mathcal{F}}^{-1}\underline{f}[m]$
因此$\underline{\mathcal{F}}^{-1}\underline{f}[m+N] = \underline{\mathcal{F}}^{-1}\underline{f}[m]$，表明了對離散信號$\underline{f}$進行IDFT會得到周期為$N$的離散信號。
這種周期為$N$的特性是由$\underline{\omega}$的周期性決定的。對某離散信號$\underline{f}$進行DFT，會得到周期為$N$的離散信號$\underline{\mathcal{F}}\underline{f}$，然后對$\underline{\mathcal{F}}\underline{f}$進行IDFT，即$\underline{\mathcal{F}}^{-1}\underline{\mathcal{F}}\underline{f}$，也會得到周期為$N$的離散信號$\underline{f}$，這表明了原始信號$\underline{f}$也是周期為$N$的離散信號。
因此有結論如下：
- 進行DFT的輸入離散信號$\underline{f}$與輸出離散信號$\underline{\mathcal{F}}\underline{f}$都是周期為$N$（$N$項）的周期信號；同理進行IDFT的輸入離散信號$\underline{F}$與輸出離散信號$\underline{\mathcal{F}}^{-1}\underline{F}$都是周期為$N$（$N$項）的周期信號。
在實際應用中，通常我們采集到的離散信號都不是周期為$N$的信號，甚至不具有周期性，但是在進行DFT分析時，都是從采集到的信號中取一部分出來，這部分就會被看作是周期信號中的一個周期，它進行DFT后會產生的也是周期信號。
索引的獨立性
周期性可以說是限制，因為我們需要用周期信號來看待將被進行DFT、IDFT的離散信號，但是這個特性也帶來了簡單有益的結論：索引的獨立性（independence of indexing）。
由於$\underline{f}$與$\underline{\omega}$都具有周期性，因此在計算DFT時可以采用任意連續$N$個采樣，即
$\underline{\mathcal{F}}\underline{f} = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\omega}^{-n} = \sum_{n=1}^{N}\underline{f}[n]\underline{\omega}^{-n} }$
我們也可以把零點放置取樣值的中間，即
當$N$為奇數時
$\underline{\mathcal{F}}\underline{f} = \displaystyle{ \sum_{n=-\frac{N-1}{2}}^{\frac{N-1}{2}}\underline{f}[n]\underline{\omega}^{-n} }$
當$N$為偶數時
$\underline{\mathcal{F}}\underline{f} = \displaystyle{ \sum_{n=-\frac{N}{2}+1}^{\frac{N}{2}}\underline{f}[n]\underline{\omega}^{-n} }$
不同的軟件，不同的實現對下標（索引）的表達可能會不同，因此我們需要了解通過這小節了解下標（索引）的獨立性。
離散信號的反轉及其DFT的對偶性
1. 離散信號反轉的定義
在討論連續信號的反轉的時候，連續信號$f(x)$的反轉為$f^-(x) = f(-x)$，而這里離散信號的反轉被定義為$\underline{f}^{-}[m] = \underline{f}[-m]$，也就是說，如果有離散信號
$\underline{f} = \left( \underline{f}[0],\underline{f}[1],\underline{f}[2],…,\underline{f}[N-1] \right)$
它的反轉為
$\underline{f}^- = \left( \underline{f}[0],\underline{f}[-1],\underline{f}[-2],…,\underline{f}[-(N-1)] \right)$
離散復指數$\underline{\omega}$的反轉為
$\underline{\omega}^- = \left( 1,e^{-2\pi i\frac{1}{N}},e^{-2\pi i\frac{2}{N}},…,e^{-2\pi i\frac{N-1}{N}} \right) = \underline{\omega}^{-1}$
同理有
$\left( \underline{\omega}^n \right)^- = \underline{\omega}^{-n} \qquad \left( \underline{\omega}^{-n} \right)^- = \underline{\omega}^{n}$
2. DFT對偶性討論
對離散信號$\underline{f}$的反轉$\underline{f}^-$進行DFT
$\begin{align*}
\underline{\mathcal{F}}\underline{f}^-
&=\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}^-[n]\underline{\omega}^{-n}\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[-n]\underline{\omega}^{-n} \qquad (definition\ of\ reversed\ signal)\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[N-n]\underline{\omega}^{-n} \qquad (\underline{f}\ is\ period\ of\ N)\\
&=\sum_{l=N}^1\underline{f}[l]\underline{\omega}^{l-N} \qquad (letting\ l=N-n)\\
&=\sum_{l=N}^1\underline{f}[l]\underline{\omega}^l \qquad(\underline{\omega}\ is\ period\ of\ N)\\
&=\sum_{l=0}^{N-1}\underline{f}[l]\underline{\omega}^l \qquad(independence\ of\ indexing)\\
&=\sum_{l=0}^{N-1}\underline{f}[l](\underline{\omega}^{-l})^-\\
&=\left( \sum_{l=0}^{N-1}\underline{f}[l]\underline{\omega}^{-l} \right )^- \qquad \left( \sum_{l=0}^{N-1}\underline{f}[l](\underline{\omega}^{-l})^-[m] =\sum_{l=0}^{N-1}\underline{f}[l](\underline{\omega}^{-l})[-m]\ the\ definition\ of\ reversed\ signal\right)\\
&=\left(\underline{\mathcal{F}}\underline{f} \right )^-
\end{align*}$
因此
$\underline{\mathcal{F}}\underline{f}^- = \left( \underline{\mathcal{F}}\underline{f} \right)^-$
對離散信號連續進行兩次DFT
$\begin{align*}\underline{\mathcal{F}}\underline{\mathcal{F}}\underline{f}&=\sum_{k=0}^{N-1}\left(\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\omega}^{-n}[k]\right)\underline{\omega}^{-k}\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\left(\sum_{k=0}^{N-1}\underline{\omega}^{-n}[k]\underline{\omega}^{-k}\right)\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\left(\underline{\mathcal{F}}\underline{\omega}^{-n}\right)\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\cdot N\underline{\delta_{-n}}\\
&=N\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\delta_{-n}}\\
&=N\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\left(\underline{\delta_n}\right)^-\\
&=N\left(\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\delta_n}\right)^-\qquad\left(\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n](\underline{\delta_n})^-[m]=\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\delta_n}[-m]\right)\\
&=N\left(\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\delta_n}[0],\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\delta_n}[1],...,\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\delta_n}[N-1]\right)^-
\end{align*}$
我們來分析一下$\displaystyle{\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\delta_n}[0]}$，其中$\underline{\delta_n}[m]=\begin{cases} 1 & \text{ , } m=n \\ 0 & \text{ , } m\neq n \end{cases}$，因此
$\begin{align*}\underline{\mathcal{F}}\underline{\mathcal{F}}\underline{f}
&=N\left(\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\delta_n}[0],\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\delta_n}[1],...,\sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\underline{\delta_n}[N-1]\right)^-\\
&=N\left(\underline{f}[0],\underline{f}[1],...,\underline{f}[N-1] \right )^-\\
&=N\underline{f}^-
\end{align*}$
最終得
$\underline{\mathcal{F}}\underline{\mathcal{F}}\underline{f} = N\underline{f}^-$