要理解這節課的內容需要先對傅里葉變換有一定程度的了解，這里主要分析的是離散時間傅里葉變換，這部分算是從傅里葉變換到離散傅里葉變換的過渡內容。推薦閱讀[傅里葉變換及其應用學習筆記] 課程概覽中離散傅里葉變換開頭的相關課程。
離散時間傅里葉變換
離散時間傅里葉變換（Discrete-Time Fourier Transform），簡稱DTFT，DTFT是從傅里葉變換（FT）中的來的。
從FT到DTFT
FT的分析對象是時域上的連續時間函數$x(t)$，DTFT的分析對象是對時域上的序列$x[n]$。兩者間有如下關系：
$x[n] = x(n), -\infty<n<\infty$
$x[n]$相當於$x(t)$在$n$上的取樣，不過$x[n]$終究是離散序列，為了使它跟傅里葉變換扯上關系，有必要把$x[n]$轉化成連續時間函數。而數學上可以用原函數與脈沖函數的乘積來表示取樣。
$\begin{align*}
x_s(t) &= x(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n)\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)\delta(t-n)\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\delta(t-n)
\end{align*}$
此時，上述取樣仍然為連續時間函數，對它進行傅里葉變換
$\begin{align*}
X_s(e^{j\omega}) = \mathcal{F}x_s(t) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\mathcal{F}\delta(t-n)\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}
\end{align*}$
即得到
$\color{red}{X(e^{j\omega}) = \displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} }}$
這個式子就被稱為DTFT。其中變量$\omega$為頻率。那么相對地，通過$X(e^{j\omega})$來還原序列$x[n]$的式子就被稱為IDTFT（可以從傅里葉級數的式子進行推導得到）
$\color{red}{\displaystyle{x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega }}$
對於DTFT，套用推導傅里葉級數的思想：在時域上有一個序列$x[n]$，組成它冪級數$e^{j\omega n}$的頻率分布在$(-\pi,\pi)$之間，在頻域上呈現出一個函數$X(e^{j\omega})$。
一般來說，序列在進行DTFT后得到的是一個變量為$\omega$的復函數，這點和頻率響應一樣，它可以表示為實部與虛部的形式
$X(e^{j\omega}) = X_R(e^{j\omega})+jX_I(e^{j\omega})$
也可以表示為幅度與相位的形式
$X(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\angle X(e^{j\omega})}$
DTFT與頻率響應
頻率響應有如下定義
$H(e^{j\omega}) = \displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n]e^{-j\omega n} }$
對比上述傅里葉變換，可以發現頻率響應就是單位脈沖響應的DTFT，那么通過對頻率響應進行IDTFT即可得到單位脈沖響應
$\displaystyle{h[n] = \int_{-\pi}^{\pi}H(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega}$
DTFT的收斂性
收斂性問題我們在傅里葉變換課程能也有討論過，這里從序列這邊展開討論。DTFT不是對任何序列都適用的，顯然它對序列有一定的要求。
首先假設有一函數$X(e^{j\omega})$，其對應的序列為$x[n]$
- 如果$\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|<\infty}$，則DTFT得到的函數會絕對收斂於$X(e^{j\omega})$，$\displaystyle{X(e^{j\omega}) = X_M(e^{j\omega})=\lim_{M\to\infty}\sum_{n=-M}^{M}x[n]e^{-j\omega n}}$
- 如果$\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2<\infty}$，則DTFT得到的函數會均方收斂於$X(e^{j\omega})$，$\displaystyle{\lim_{M\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})-X_M(e^{j\omega})|^2d\omega = 0}$
- 對於不收斂的序列$x[n]$，有時也能得到其DTFT，如$u[n]$進行DTFT后可以得到$U(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\displaystyle{\sum_{r=-\infty}^{\infty}\pi\delta(\omega+2\pi r)}$
關於收斂的意義，下面的均方收斂的例子能很好地展示其收斂過程。
有一低通濾波器的頻率響應如下
$H_{lp}(e^{j\omega})=\left\{\begin{matrix}
1, &|\omega|<\omega_c \\
0, & \omega_c<|\omega|\leqslant\pi
\end{matrix}\right.$
單位脈沖響應是頻率響應的逆傅里葉變換
$\begin{align*}
h_{lp}[n] &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}e^{j\omega n}d\omega \\
&= \left [\frac{1}{2\pi jn}e^{j\omega n}\right ]_{-\omega_c}^{\omega_c}\\
&= \frac{1}{2\pi jn}(e^{j\omega_c n}-e^{-j\omega_c n})\\
&= \frac{sin\omega_c n}{\pi n} \quad -\infty<n<\infty
\end{align*}$
可以看到當$n\to\infty$時，這個序列僅以$\frac{1}{n}$趨於0，因此$h_{lp}[n]$不是絕對可加的，也就是說
$\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{sin\omega_c n}{\pi n}e^{-j\omega n} }$
並不絕對收斂於$H_{lp}(e^{j\omega})$。為了獲得直觀上的理解，先來考慮作為有限項和的
$\color{red}{H_{M}(e^{j\omega}) = \displaystyle{\sum_{n=-M}^{M}\frac{sin\omega_c n}{\pi n}e^{-j\omega n}}}$
當$M=1,3,7,19$時分別如下圖所示
可以發現隨着$M$增大，有限項和越來越趨近與原來的頻率響應。但同時也有一個問題，在$\omega_c$點附近的波形一直都是振盪的，並且幅度沒有變小，而是隨着$M$的增大越發集中於$\omega_c$。也就是說對$h_{lp}[n]$進行DTFT后得到的函數不是絕對收斂於$H_{lp}(e^{j\omega})$的，但它是均方收斂的。
DTFT的對稱性質
對稱性質主要用於簡化計算。
我們現實中所碰到的序列多是實數序列，不過在對信號進行傅里葉分析時，則不可避免地把序列$x[n]$的范圍擴展到復數域。對於復數序列$x[n]$，它可以被分為實數部分$x_R[n]$與虛數部分$x_I[n]$。
共軛對稱與共軛反對稱
如果一個序列的實數域對稱，虛數域反（原點）對稱，則稱該序列為共軛對稱序列（conjugate-symmetric sequence），該序列用$x_e[n]$來表示，有$x_e[n] = x_e^{*}[-n]$
如果一個序列的實數域反（原點）對稱，虛數域對稱，則稱該序列為共軛反對稱序列（conjugate-antisymmetric sequence），該序列用$x_o[n]$來表示，有$x_o[n] = -x_o^{*}[n]$
任何序列$x[n]$都能表示成一個共軛對稱序列和一個共軛反對稱序列之和
$x[n] = x_e[n]+x_o[n]$
其中
$\left\{\begin{matrix}
x_e[n] &=&\frac{1}{2}(x[n]+x^*[-n]) &=&x_e^*[-n] \\
x_o[n] &=&\frac{1}{2}(x[n]-x^*[-n]) &=&-x_o^*[-n]
\end{matrix}\right.$
利用共軛對稱的定義容易證明上述等式是成立的，利用共軛對稱的圖示也能很好地理解。
同理，復函數也可以有共軛對稱這一特征。DTFT得到的復函數$X(e^{j\omega})$也能分解為共軛對稱和共軛反對稱函數之和
$X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega})+X_o(e^{j\omega})$
其中
$\left\{\begin{matrix}
X_e(e^{j\omega}) &=&\frac{1}{2}[X(e^{j\omega})+X^*(e^{j\omega})] &=&X_e^*(e^{j\omega}) \\
X_o(e^{j\omega}) &=&\frac{1}{2}[X(e^{j\omega})-X^*(e^{j\omega})] &=&-X_o^*(e^{j\omega})
\end{matrix}\right.$
DTFT的對稱性質
DTFT有如下表的對稱性質
| 序列x[n] | DTFT X(ejω) | ||||||||||||||
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|||||||||||||||
| 以下性質僅適用於x[n]為實序列 | |||||||||||||||
|
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上述性質中，只要證明了性質1，同理即可證明性質2，后面的性質可以通過上述共軛對稱之和的等式中容易證明。
性質1證明：
對$x^{*}[n]$進行DTFT
$\begin{align*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^*[n]e^{-j\omega n}
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_R[n](cos\omega n-jsin\omega n)-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_I[n](cos\omega n-jsin\omega n)\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_R[n]cos\omega n-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_R[n]sin\omega n-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_I[n]cos\omega n-\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_I[n]sin\omega n\\
&=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_R[n]cos\omega n-\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_I[n]sin\omega n\right)-j\left( \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_R[n]sin\omega n+\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_I[n]cos\omega n\right)\\
&=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|cos\phi cos\omega n-\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|sin\phi sin\omega n\right )\\
&\quad-j\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|cos\phi sin\omega n+\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|sin\phi cos\omega n\right)\quad letting\ \phi=\angle x[n]\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|cos(\phi+\omega n)-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|sin(\phi+\omega n)\\
\end{align*}\\$
對$x[n]$進行DTFT
$\begin{align*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|e^{j\angle x[n]}e^{-j\omega n} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|e^{j(\phi-\omega n)}\quad letting\ \phi=\angle x[n]\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|cos(\phi-\omega n)+j\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|sin(\phi-\omega n)\\
\end{align*}$
對比兩個結果即可發現$x^*[n]$進行DTFT后得到的是$X^*(e^{-j\omega})$
DTFT的相關定理
本書是把DTFT描述成序列的傅里葉變換，用的也是傅里葉變換的符號$\mathcal{F}$。
DTFT的相關定理與傅里葉變換相關定理相差無幾，如有必要也能用同樣的方法推導得出，下面只進行定理的羅列
| 序列x[n],y[n] | DTFT X(ejω),Y(ejω) | ||||||||||||||
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| 帕斯瓦爾定理: | |||||||||||||||
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其中1為線性性質，2與3為移位定理，4為對偶性質，5為微分定理，6與7為卷積定理。
下面列出的是一些常用序列的DTFT
| 序列 | DTFT | ||||||||||||||||||||||
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