z變換及其收斂域
回顧前面的文章，序列$x[n]$的傅里葉變換（實際上是DTFT，由於本書把它叫做序列的傅里葉變換，因此這里以及后面的文章也統一稱DTFT為傅里葉變換）被定義為
$X(e^{j\omega}) = \displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} }$
序列$x[n]$的z變換被定義成
$X(z) = \displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} }$
其中$z$就是一個復數變量，可見$z$變換與傅里葉變換一樣把序列變成了函數。復變量$z$可以表示形式$z=|z|e^{j\omega}=re^{j\omega}$，代入z變換變成
$X(z) = \displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]r^{-n}e^{-j\omega n} }$
可以發現傅里葉變換就是$r=1$的z變換。
要使得z變換有意義，那么變換所得的函數必須在有限處收斂，即
$\begin{align*}
|X(z)|&= \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]r^{-n}e^{-j\omega n}\right|\\
&<\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|r^{-n} \\
&=x[0]+ \sum_{n=1}^{\infty}|x[n]|(r^{-1})^n+\sum_{n=1}^{\infty}|x[-n]|r^n <\infty
\end{align*}$
按照root test，需要滿足以下條件才能使得函數收斂
$\left\{\begin{matrix}
\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}|x[n]|^{\frac{1}{n}}r^{-1} < 1 }\\
\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}|x[-n]|^{\frac{1}{n}}r < 1 }
\end{matrix}\right.$
即
$\left\{\begin{matrix}
r &> &\displaystyle{\lim_{n\to\infty} |x[n]|^{\frac{1}{n}}} \\
r &< &\displaystyle{\lim_{n\to\infty} |x[-n]|^{\frac{1}{-n}}}
\end{matrix}\right.$
觀察上面的不等式，可以發現z變換的收斂可以分為五種
- $x[n]$是右邊序列，即序列在$n<N_1<\infty$處全為0，那么該序列的收斂域就是從極點（使得函數趨於$\pm\infty$的點）往外延伸到$z=\pm\infty$
- $x[n]$是左邊序列，即序列在$n>N_2>-\infty$處全為0 ，那么該序列的收斂域就是從極點向內延伸至$z=0$
- $x[n]$是雙邊序列，把該序列分成右邊序列與左邊序列后，如果這兩個序列的z變換的收斂域有重合的部分，則該序列z變換的收斂域呈圓環狀
- $x[n]$是雙邊序列，把該序列分成右邊序列與左邊序列后，如果這兩個序列的z變換的收斂域沒有重合的部分，則該序列z變換不存在收斂域
- $x[n]$是有限長序列，那么該序列的z變換必定在有限的范圍內收斂
圖中陰影部分為收斂域，其中紅色圓圈是$|z| = r = 1$，即傅里葉變換，如果z變換的收斂域包含$r=1$的圓圈，就表明該序列的傅里葉變換收斂。
z變換例子
考慮一個為兩個實指數和的信號
$x[n] = \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n]+\left(-\frac{1}{3}\right)^n u[n]$
其z變換為
$\begin{align*}
X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{ \left(\frac{1}{2} \right )^n u[n]+\left(-\frac{1}{3} \right )^n u[n] \right \}z^{-n}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2} \right )^n u[n]z^{-n}+\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(-\frac{1}{3} \right )^n u[n]z^{-n}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}z^{-1} \right )^n +\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{3}z^{-1} \right )^n \\
&=\frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}+\frac{1}{1+\frac{1}{3}z^{-1}} \quad Geometric\ Series\\
&=\frac{2z\left(z-\frac{1}{12} \right )}{\left(z-\frac{1}{2} \right )\left(z+\frac{1}{3} \right )}
\end{align*}$
為了使z變換收斂，必須滿足條件
$\left\{\begin{matrix}
\left| \frac{1}{2}z^{-1}\right|&<&1\\
\left| -\frac{1}{3}z^{-1}\right|&<&1
\end{matrix}\right.$
即
$\left\{\begin{matrix}
\left| z\right|&>&\frac{1}{2}\\
\left| z\right|&>&\frac{1}{3}
\end{matrix}\right.$
由此可得到收斂域為$|z|>\frac{1}{2}$。觀察z變換的結果，可以發現：
當$z=\frac{1}{2}$或者$z=-\frac{1}{3}$時，z變換趨於無窮，因此這兩個點為極點
當$z=0$或者$z=\frac{1}{12}$時，z變換為0，因此這兩個點為零點
