目錄
3 濾波與褶積，Z變換
3.1 連續信號的濾波和褶積
- Q: 卷積（褶積）和空間不變（平移對稱性）有何聯系？
A: 提示（舉例）：位置0影響位置1的程度和1影響2的、2影響3的程度是相同的（並以此類推），這就是空間不變或平移對稱性。
很多物理規律比如萬有引力定律等就具有此性質。
那么考慮0 1 2三個數構成整體，分別對5 6 7三個數的影響，就出現卷積。
這里還能直觀看出卷積中“減號”的物理意義。比如說0對5是“間隔5”的影響，1對5是“間隔4”的影響，等等。0=5-5，1=5-4.
注：根據實際意義不同，空間不變在實際中可能意義是時不變。 - Q: 考察公式\(\iint X(f) h(\tau)e^{i2\pi f(t-\tau)}d\tau df\)，兩種積分順序分別得到什么？
A: 如果先對\(\tau\)積分，則第一步得到\(\int X(f)H(f)e^{i2\pi ft}df\)，這就是頻譜為\(X(f)H(f)\)的信號。
如果先對\(f\)積分，則第一步得到\(\int h(\tau)x(t-\tau)d\tau\)，這就是卷積結果。
也就是\(y(t)=x(t)*h(t),Y(f)=X(f)H(f)\). - Q: 如何求積分信號\(y(t)=\int_{-t_0}^{t_0}x(t-\tau)d\tau\)的頻譜？
A: 提示：相當於時域和方波卷積。
3.2 離散信號的濾波和褶積
- Q: 什么時候對連續信號的濾波可以通過對離散信號的濾波實現？
A: 連續信號\(x(t)\)，連續濾波因子（注：或稱濾波器時間函數、脈沖響應函數）\(h(t)\)都具有截頻\(f_c\)，且\(\Delta<1/2f_c\).
此時在待考察區間內，\(X(f)=X_\Delta(f),H(f)=H_\Delta(f)\)，等等。故可以這么做。 - Q: 對離散信號情況，考察類似上一節1.的公式及其推論。
A: 待考察的公式是：\(\int_{-1/2\Delta}^{1/2\Delta} X_\Delta (f)\Delta\sum_m h(m\Delta)e^{-i2\pi mf\Delta}e^{i2\pi nf\Delta}df\). 推論即\(y(n\Delta)=x(n\Delta)*h(n\Delta)=\Delta\sum h(m\Delta)x((n-m)\Delta),Y_\Delta(f)=X_\Delta(f)H_\Delta(f)\).
注：上式得到的是\(y(n\Delta)\)，而不是傅里葉展開的第\(n\)項系數。后者是前者的\(\Delta\)倍。實際上，我們也可以考察傅里葉展開系數，即\(\Delta y(n\Delta)=\sum \Delta h(m\Delta)\Delta x((n-m)\Delta)\). 這種考察方式更容易記憶，也就是每一個\(y(\cdot),x(\cdot),h(\cdot)\)都要乘以\(\Delta\).
注：此處由於積分限\([-1/2\Delta,1/2\Delta]\)，所以\(X_\Delta(f)\)其實也是某個一般（非奇異）連續信號的頻譜。故這個公式中體現的離散卷積其實可以看成一個奇異信號和另一個一般連續信號的卷積，是連續卷積的特殊情況。（回憶這里的用卷積考察抽樣定理的題1.） - Q: 畫圖展現實際應用中對兩有限長序列作卷積，並指出可能存在的實際問題。
A: 考慮兩線段AB（左邊是A）和CD（左邊是C），把CD折過來變成DC，然后C對齊A，接着不斷向右平移，直至D對齊B為止。
注意，在此過程中，不妨設CD線段較短，我們發現開頭和結尾的若干步中會出現DC線段不被AB完全覆蓋的情況，這時可能導致邊緣效應等。（即：那些DC沒有被AB覆蓋到的地方，你怎么辦？補零？周期延拓？）
3.3 信號的能譜與能量等式，功率譜與平均功率等式
- Q: 對於信號相乘積分公式，\(\int x(t)y(t)dt=\int X(-f)Y(f)df\)和\(\int x(t)\bar y(t)dt=\int X(f)\bar Y(f)df\)的推導有什么異同？
A: 相同點：都是用傅里葉變換的一個方向搞出\(e^{-\cdots}\)因子，再用另一個方向把這個因子“去掉”。
不同點：由於傅里葉正負變換相差負號，所以這里需要一定調整才能直接用“另一個方向去掉因子”。具體地，前者是直接變號，后者是利用共軛把\(e^{-\cdots}\)變成\(e^{+\cdots}\). 后者在處理實信號時更加方便。 - Q: 對於0.，考察兩個相同的信號\(x(t)\)有何結論？
A: 對於0.中第二式，有\(\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt=\int|X(f)|^2df\).
此處\(|X(f)|^2\)稱為\(x(t)\)的能譜。（思考：回憶振幅譜） - Q: （連續）功率譜和能譜的表達式有何異同？
A: （相比能譜）為了考察總能量為無限的連續信號\(x(t)\)，我們先針對一段（有限）時間考察連續功率譜。假設\(x(t)\)乘某個方波后為\(y(t)\)，則
\(Y(f)=\int_{T_1}^{T_2}x(t)e^{-i2\pi ft}dt,|Y(f)|^2=\cdots\)，剛剛的\(|Y(f)|^2\)再除以\(T_2-T_1\)就是我們想要的功率譜表達式。
功率譜表達式實際上就是人為划定時間范圍后，通過與求能譜表達式相同的方法，給出了不同頻率對於某一確定范圍內能量的平均貢獻。
當然，為了考察整個實軸，只需\(lim_{T\to \infty}\int_{-T}^T\)即可。 - Q: 類似上一節1.，考察離散的能量譜表達式中外面的系數\(\Delta\)。
A: 提示：\(\sum\Delta x(n\Delta)\Delta y(n\Delta)=\sum\Delta x(n\Delta)\Delta\int_{-1/2\Delta}^{1/2\Delta} Y_\Delta(f)e^{i2\pi fn\Delta}df\)
\(=\Delta\sum\int \Delta\bar x(n\Delta)e^{i2\pi fn\Delta}Y_\Delta(f)df\)
\(=\Delta\sum\int\overline{\Delta x(n\Delta)e^{-i2\pi fn\Delta}}Y_\Delta(f)df\)
\(=\Delta\int\bar X_\Delta(f)Y_\Delta(f)df\)
當然同理\(=\Delta\int X_\Delta(f)\bar Y_\Delta(f)df\)
即\(x,y,總能量\)都乘以\(\Delta\).
這里跟上節1.的卷積當然有類似之處。
能量是“同向”，卷積是“反向”而已。具體細節，比如多了\(\Delta\)系數，比如“\(x,y,結果\)都乘以\(\Delta\)”都是相同的。
注：另一種記憶方法：直接記憶能量的原始表達式\(\Delta\sum |x(n\Delta)|^2\)類似於“黎曼和”一樣增加了\(\Delta\)系數。這也很好記。 - Q: 對於離散情況的功率，為什么不除以\(2N+1\)，而是\((2N+1)\Delta\)？
A: 因為\(\Delta\)是有實際物理意義的，表示間隔，\((2N+1)\Delta\)才是實際有物理意義的時間長度。平均功率和功率譜的表達式都如此。
3.4 離散信號與頻譜的簡化表示
- Q: 直接默寫形式記號\(X_\Delta(f),X(f),X(\omega)\)的含義。
A:
\(X_\Delta(f)=\Delta\sum x(n\Delta)e^{-i2\pi fn\Delta}\)（當然，我們形式上記\(x(n\Delta)=x(n)\)）
\(X(f)=\sum x(n)e^{-i2\pi fn\Delta}\)
\(X(\omega)=\sum x(n)e^{-in\omega}\)
注：引入角頻率其實可以為頻譜的離散化鋪墊。
注：按記號\(X(f),X(\omega)\)這樣的話，\(g(n)=x(n)*h(n)=\sum h(m)x(n-m)\)前面沒有系數，\(G(\omega)=X(\omega)H(\omega)\)也沒有系數，這很好記。
不妨和3.2節的1.對比理解：本節這種記號，相比3.2節，\(x,h\)含義不變，\(g\)含義則是之前的\(y\)的\(1/\Delta\)倍，故：
\(y=\Delta\sum\cdots=\Delta g,Y_\Delta=\Delta G_\Delta\)
\(\Delta G_\Delta=Y_\Delta=H_\Delta X_\Delta\Rightarrow\Delta^2G=\Delta^2HX\Rightarrow G=HX\)
不過總之，這些都是一些瑣碎的記號，不用過於關注。
3.5 離散信號的Z變換
- Q: 解釋“\(Z\)變換是一個復變函數”。
A: 所謂\(Z\)變換，是把\(X(f)\)中的\(e^{-i2\pi \Delta f}=e^{-i\omega}\)換元為\(Z\)得到的關於\(Z\)的函數\(X(Z)\).
注意這里的記號是通過括號內的字母區分的，這並不是一般數學書籍中習慣用法，故可能引起迷惑。比如：在\(X(f)\)中代入\(f=1\)與在\(X(Z)\)中代入\(Z=1\)，結果顯然不同！
可以看到這里的\(Z\)取值可能是一系列模長為1的復數，\(X(Z)\)當然就是復變函數。我們要求\(X(Z)\)在包含單位圓的圓環內解析，具體內容見后。 - Q: 課本上考慮的褶積、翻轉、相關的\(Z\)變換中，\(x_n,y_n\)等是什么意思？多項式乘法和褶積有何關系？
A: 就是以前考察的\(\Delta x(n\Delta),\Delta y(n\Delta)\)等。（傅里葉展開的第\(n\)項系數）
多項式乘法和褶積的關系可以從褶積的\(Z\)變換中直接看出（即把\(Z\)變換看成定義在復數域上多項式）
更具體地：\((x^2+2x+3)(4x^2+5x+6)=4x^4+(1\times 5+2\times 4)x^3+\cdots\) - Q: 用卷積考察時移：\(Z^t X(Z)\)對應的信號是（）。
A: \(x_{n-t}\)
注：對\(t=1\)舉例：\(x_n * \delta(n-1)=\sum x_m\delta(n-1-m)=x_{n-1}\).
其中\(\delta(n-1)\)就是只在1處有非零值的信號，其\(Z\)變換為\(Z\). - Q: 課本中\(Z\)變換的唯一性是通過離散序列和頻譜的一一對應說明的（參考第2期奇異函數練習1.），也就是把（）代入\(x_n=\Delta\int _{f=-1/2\Delta}^{f=1/2\Delta}X(Z)Z^{-n}df\)，得到\(c_n=x_n\)，或說同樣的\(Z\)變換對應了同樣的離散序列。
根據此唯一性，只要知道Z變換冪級數展開式，就能直接寫出離散序列\(x_n\)的展開式，例如\(Z\)變換是\(Z-\alpha\)時，其對應序列是（）。
A: \(X(Z)=\sum c_nZ^n\)，\(x_n=(x_0,x_1)=(-\alpha,1)\).
注：這種情況下寫出的離散序列常常可以用\(x_n=(x_0,x_1,x_2)=(1,2,3)\)這種簡單寫法表示。 - Q: 積分\(x_n=\Delta\int _{f=-1/2\Delta}^{f=1/2\Delta}X(Z)Z^{-n}df\)中，\(f\)在實軸上移動，則\(Z\)在單位圓上移動，這是柯西積分嘛？
A: 這里是\(df\)而不是\(dZ\)，所以並不是柯西積分 - Q: 為什么對於\(1/(Z-\alpha)\)，要討論\(\alpha\)和1的關系？
A: 回憶我們要求復變函數\(X(Z)\)在圓環附近收斂。所以要選擇合適的（收斂的）那個等比級數。
當然，如果\(\alpha=1\)，則圓環上出現極點，就無法得出有意義的序列了。（退而求其次：考慮\(\alpha \to 1_+\)或者\(1_-\)倒是可以考察極限情況） - Q: 離散信號時移和濾波有什么聯系？用此思路考察連續信號呢？
A: 濾波其實是多個不同平移量的時移（多次“響應”）的線性組合。
對於連續情況，只是可能“連續化”變成無窮個而已。比如對於\(x(t)*(\delta(t)+\delta(t-1))\)，你可以認為是\(x(t)\)被“響應了2次”，也可以認為是\(\delta(t),\delta(t-1)\)各自被響應了無窮次，每次無窮小，然后積分。一般的\(x(t)*h(t)\)也可以用“響應無窮次”的思想考察。 - Q: 用時移和濾波闡釋“平滑”去除噪聲。
A: 比如連續取\(k\)個點取平均作平滑，實際上就是用數個時移線性組合。也可以說成“濾除高頻噪聲”。
此處相當於“多次取平均”，認為信號在一定時間范圍內“連續穩定”，噪聲在一定時間范圍內高頻波動，從而信號和噪聲都被平滑，但是噪聲被平滑得更多，信噪比提高！
拓展：平滑和銳化結合：先高斯，再拉普拉斯，就相當於先“局部平均值”這樣平滑，之后再銳化。這個所謂“局部”的尺度是用戶自己控制的。（直觀：“墨西哥帽”形狀。卷積核有正有負）
3.6 作為羅朗級數的Z變換
- Q: 簡要解釋“關於收斂半徑的討論，和實冪級數相仿”
A: 核心是根值判別法\(1/\rho =\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}\). 考察過程中只用到了數的模長、三角不等式等性質（“賦范空間”），所以復數和實數並無本質區別。 - Q: 根據\((\sum x(n)Z^n)'=\sum nx(n)Z^{n-1}\)，直接說出\(nx(n)\)的\(Z\)變換以及\(X'(Z)\)對應的信號。
A: Z變換：\(ZX'(Z)\)
對應信號：\((n+1)x(n+1)\)（由於\(\sum nx(n)Z^{n-1}=\sum (n+1)x(n+1)Z^n\)） - Q: “信號處理中，函數的形式大多是有理函數”，舉例說明實際應用中有理函數的作用。
因為上句，所以求展開系數往往不需要復雜的柯西型積分，而是直接通過（）和（）就可以計算。
A: 例如簡單的反饋系統\(Y(f)=X(f)H_1(f)+Y(f)H_2(f)H_1(f)\).
再例如由於方波不連續，性質不好，而通過某些有理函數逼近方波等。
注：考察反饋系統中\(Y(f)/X(f)=Q(f)\)，實際工程中一般做法就是把\(x(t)\)先變換到頻域，然后乘以有理函數\(Q\)，再變回去。
括號填：有理函數分解，等比級數。 - Q: 說Z變換一一對應離散信號需要強調什么？舉例說明。
A: 解析區域包括單位圓（回憶Z變換換元時Z的含義！）
舉例：\(u(n)\)沒有一般意義下的Z變換。（單位圓處有極點）
舉例：對於有多個不同收斂圓環（盤）的Z變換，一般取包含單位圓的那個，構造對應序列。
習題
- Q: 之前說過平移對稱性（時不變）和卷積直接相關，那“線性”又和卷積有何關聯呢？
A: 其實非線性也可以“卷”，比如\(\sum_m F(x(m),y(n-m))\)，\(F\)是一般的函數，這還是能體現卷的本質。
但是“積”和線性就直接相關了。 - Q: 用方波乘積可以考察（）卷積，而卷積運算中一個信號反過來就是（）運算，進一步即可考察正交系。
A: \(sinc\)，相關 - Q: 如何處理頻譜中的三角多項式？
A: 用Z變換表示三角函數。 - Q: 對於\(x(n),y(n),X(\omega),Y(\omega),g(n)=x(n)y(n)\)，考察\(G(\omega)\).
此處手法和3.2相同，即把\(x(n)\)變為連續信號\(s(n):=\sum x(m) sinc(n-m)\)，再和離散信號\(y(n)\)進行類似3.2的考察。
積的頻譜限制在\([-1/2,1/2]\)范圍，為
\(\sum s(n)y(n)e^{-i2\pi nf}=\sum s(n)\int_{-1/2}^{1/2}Y(g)e^{i2\pi gn}dge^{-i2\pi nf}\)
\(=\int \sum s(n)Y(g)e^{i2\pi n(g-f)}dg=\int S(f-g)Y(g) dg\).
其中\(S(f)\)為（）。
之后怎么改為用\(\omega\)表示？
A: 限制在\([-1/2,1/2]\)的\(X(f)\)
為了防止混淆，引入記號\(X_f,Y_f, X_\omega, Y_\omega\)等，則\(G_\omega(\omega)=G_f(f)|_{f=\omega/2\pi}=\int_{-1/2}^{1/2} Y_f(\omega /2\pi - g)X_f(g) dg\)
\(= \int_{-1/2}^{1/2} Y_\omega(\omega - 2\pi g)X_\omega (2\pi g)d 2\pi g/2\pi = \int_{-\pi}^\pi Y_\omega(\omega - \lambda)X_\omega(\lambda)d\lambda /2\pi\)