目錄
4 線性時不變濾波器與系統
4.1 線性時不變系統及其時間響應函數
- Q: 如何理解\(h(n)=T\delta (n)\)及此\(h(n)\)的作用？
A: 對於線性時不變系統，可以只考慮\(\delta(n)\)的輸出\(T\delta(n)\)（時間響應函數\(h(n)\)），此時任意\(x(n)\)的輸出就可以用
\(y(n)=Tx(n)=Tx(n)*\delta(n)=T\sum x(k)\delta(n-k)\)
\(=(線性)\sum x(k)T\delta(n-k)=\sum x(k)h(n-k)=x(n)*h(n)\)計算。
注：也可以計算出頻譜（頻率響應函數）\(H(\omega) = \sum h(n)e^{-in\omega}\)和Z變換\(H(Z)= \sum h(n)Z^n,Z=e^{-i\omega}\)等。 - Q: 實際工程中不滿足線性時不變怎么辦？
A: 例如：近似認為線性時不變。認為分段線性時不變。“迭代”地自適應分段，等等。 - Q: 如果只知道\(u(n)\)響應，怎么求時間響應函數？
A: 提示：\(\delta(n) = u(n)- u(n-1)\)，並利用線性時不變性質。
4.2 線性時不變系統的因果性和穩定性
- Q: 直觀解釋因果性和\(h(n)\)的關系。
A: 設\(n\)數值大表示時間靠后，則\(\delta(n)\)作為輸入時，輸出只能作為“果”，即：使得\(h\ne 0\)的\(n\)只能為\(n\ge 0\).
想象：在第0時刻輸入\(\delta(n)\)之前，系統對即將來的\(\delta(n)\)一無所知，所以\(n<0\)之前的反應和沒有任何輸入的反應應當相同。
（對於線性時不變系統沒有任何輸入，輸出當然是0） - Q: 用范數考察兩種穩定性的定義。
A: BIBO穩定性相當於考察max范數（無窮范數）。能量有限穩定性相當於考察2范數。 - Q: 兩種穩定性充要條件分別是什么，這兩種穩定性的條件有何聯系？
A: BIBO穩定性等價於\(h\)“絕對收斂”，而能量有限穩定性等價於\(h\)頻譜有界，后者是前者的必要不充分條件。
注：考察能量穩定性的充要條件時直接在頻域考察，非常直觀。 - Q: 對於\(Z\)變換為\(1/(1-2Z)\)的系統，且已知物理可實現，其收斂域是否包含單位圓？如果不包含，這是否和\(Z\)變換定義矛盾？
A: 不包含。物理可實現要求\(H(Z)\)展成正向單邊級數，故收斂域為包含原點的圓盤。
形式上，此處\(Z\)變換可展開為\(1+2Z+\cdots\)，信號為\(1,2,4,\cdots\). 可以發現由於單位圓處級數不收斂，故該信號的頻譜無意義。其實此處把\(Z\)變換當成形式記號即可。
實際上，如果我們只考察頻譜有意義的信號，那么\(1/(1-2Z)=-\frac 1{2Z}\frac{1}{1-1/2Z}=-\frac 1{2Z}(1+1/2Z+\cdots)\)才是對的。
4.3 系統的組合——串聯、並聯及反饋
- Q: 卷積和乘法都具有（）律，所以容易證明兩個（線性時不變）濾波器串聯的時間響應函數為（），\(Z\)變換為（）。對並聯回答以上問題。
A: 結合，兩時間響應函數卷積，兩\(Z\)變換乘積。
對加法的分配律，兩時間響應函數之和，兩\(Z\)變換之和。 - Q: 卷積（串聯）的實際應用：光學上，點成像得到（），以及物體在曝光時間內（），都造成成像時的模糊，總的結果是兩個效應的（）運算（假設兩個效應都線性時不變）。
A: 斑（由於衍射），運動，卷積 - Q: 常見的（線性時不變）反饋系統\(y(t)=x(t)*h_1(t)-y(t)*h_2(t)\)對應的\(Z\)變換如何？
A: \(Y(Z)=X(Z)H_1(Z)-Y(Z)H_2(Z),\frac{Y(Z)}{X(Z)}=\frac{H_1(Z)}{1+H_2(Z)}\)
注：這樣的\(Z\)變換較難直接算出\(h(n)\). 不過我們應用時也不需要算它。
4.4 有理系統及其時間響應函數
- Q: 分別解釋名稱“有理”和“遞歸”的由來。
A: 提示：有理指的是系統的Z變換是有理函數。注意分子分母都為有限項，這對\(H_1,H_2,h_1,h_2\)提出了要求。
遞歸指的是形如\(y(n)=\sum b_k x(n-k)-\sum a_k y(n-k)\)的結構中對\(y\)有遞歸。
注：可以看到，分母的常數項不能為0.
注：“有理”和“遞歸”也對應了實際工程中的設計思想。對於一些無法直接實現的結構，如理想低通濾波，你可以逼近；也可以讓信號在系統里經過多個子系統，反復多次處理乃至使用遞歸等。 - Q: 求穩定有理系統的時間響應函數時，為什么要求分母在單位圓上無根？分母有重根怎么辦？
A: 穩定的系統也能量穩定，頻譜有界。在頻譜存在時，\(Z\)取單位圓上數均應使表達式\(H(Z)\)有意義。
有重根時，仍按有理函數一般的分解方式，得到\(\sum \frac{c_j(l_j)}{(Z-\alpha_j)^{l_j}}\)，並對\(1/(Z-w)^n\)也正常使用冪級數展開。
（當然，可利用\(\frac{(2-Z)+Z}{(Z-2)^2}\)或\(1/(1-x)^2=(1/(1-x))'=(1+x+\cdots)'=1+2x+\cdots\)等方法） - Q: 對比1.和4.2題3.
A: 一般情況下，同一個\(Z\)變換可能對應多個不同收斂域及相應信號。根據需要的性質可進行篩選。
已知因果則“正向”，已知穩定則“包括單位圓”
注：之后差分方程要求“單向Z變換”，也是一個道理。 - Q: 時間響應函數\(h(n)\)表達式中，出現了\(2^n\)說明系統就不穩定了嗎？
A: 如果\(n\le c\)范圍內表達式\(2^n\)，那沒關系。
4.5 差分方程的單邊\(Z\)變換解法
- Q: 簡要解說“穩定性條件”“唯一確定”“差分方程不同”“還要知道初始值”
A: 例：任何時候，\(y(n)=y(n-1)+x(n)\)都不足以從\(x(n)\)唯一確定輸出。
為了確定輸出，要么確定初始值（差分方程），要么確定穩定性條件或其他條件。 - Q: 上面的差分方程可以有無窮多種初值，但\(Y(Z)=ZY(Z)+X(Z)\Leftrightarrow Y(Z)/X(Z)=1/(1-Z)\)只對應兩種可能的系統，這是怎么回事？
A: 提示：使用\(Z\)變換就是假設線性。如果指定線性，則差分方程的初值也不可能是無窮多種了。
更進一步：如果指定線性，穩定，則差分方程沒有合法初值。（當然\(1/(1-Z)\)也不對應任何合題意的系統了） - Q: 用多項式乘法的視角考察單邊\(Z\)變換解差分方程。
A: 舉例：\((1+2x+4x^2\cdots)(1-2x)=1\)，記其中\(a_n = u(n) 2^n\)，那么上面的方程
\((a_0+a_1x+\cdots)(1-2x)=1\)
也就是
\(a_0=1,a_1-2a_0=0,a_2-2a_1=0,\cdots\).
這也可以看出乘積和卷積的關系，為什么要單邊，等等。 - Q: 斐波那契數列意思就是\(y(n)-y(n-1)-y(n-2)=x(n)=0\)嘛？
A: 不是。初始處兩個值要特殊考慮。\(x(n)\)不恆為0. - Q: “0輸入解”和“0狀態解”可以類比什么數學中的對象？
A: 如：非齊次線性方程組的通解的兩部分。 - Q: 對於\(y(n)-\alpha y(n-1)=x(n)(n\ge 0),x(n)=\alpha\delta(n), y(-1)=\beta\)，如何使用\(Z\)變換表示\(Y\)和\(X\)的關系？
A: \(Y(Z)-\alpha (y(-1)+\sum_{n=1}^\infty y(n-1)Z^n)=X(Z)\)
\(Y(Z) - \alpha y(-1) - \alpha Z Y(Z) = X(Z)\)，注意比\(ZY(Z)\)多出了一項\(y(-1)\)，原因是此處\(y\)相比之前，不再是\(<0\)時恆為0了，則單邊\(Z\)變換時對邊界的處理要特別注意。
當然你也可以強行讓\(y(n)-\alpha y(n-1)=x(n)\)必須對一切\(n\)成立，但此時，你改變了\(x(n)\)的表達式。這樣可以求\(y(n)\)的值，但是無法直接計算\(Y,X\)關系。
習題
- Q: 做分解：\(\frac 1{(1-\alpha Z)(1-\beta Z)}\)
A: \(原式 = (\frac 1{1-\alpha Z}/\beta - \frac 1{1-\beta Z} / \alpha)/(1/\beta - 1/\alpha)\)