Chap 1 時域離散信號和系統
1.2 模擬信號、時域離散信號、數字信號
數字信號處理涉及的三種信號：
- 模擬信號——時域取值均連續（《信號與系統》中研究）
- 時域離散信號——時域離散，任意取值
- 數字信號——時域取值均離散
時域離散信號與數字信號的關系
時域離散信號——任意取值，通過對模擬信號進行等間隔采樣而來
數字信號——將時域離散信號進行編碼后在計算機中存儲的二進制信號（因精度關系會）
在計算機位數足夠大時，數字信號可近似看成時域離散信號。
時域離散信號的表示方法
- 集合表示法 \(\qquad x(n)=\{\cdots,0.0000,0.6364,0.9000,0.6364,\underline{0.0000},-0.6364,-0.9000,-0.6364,\cdots\}\)
- 公式表示法 \(\qquad x(n)=a^{\vert n\vert},\quad 0<a<1,\ -\infty<n<\infty\)
- 圖形表示法
常用時域離散信號
-
單位脈沖序列
\[\delta(n)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & n=0 \\ 0 & n\neq0 \end{array}\right. \] -
單位階躍序列
\[u(n)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & n\geq0\\ 0 & n<0 \end{array}\right. \] -
矩形序列
\[R_N(n)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & 0\leq n\leq N-1 \\ 0 & other \end{array}\right. \] -
實指數序列
\[x(n)=a^nu(n) \] -
正弦序列與負指數序列
\[x(n)=A\sin(\omega n+\theta) \]其中，\(\omega\) 為數字頻率，對應模擬信號 \(x_a(t)=A\sin(\varOmega t+\theta)\) 采樣為 \(\omega=\varOmega T\) .
-
周期序列
\[x(n)=x(n+N) \]其中滿足上式的最小正整數 \(N\) 為序列周期。
**注意周期判斷一定要滿足 \(N\) 是整數。這意味着形如 \(x(n)=\sin(n)\) 的序列不是周期序列，而 \(x(n)=\sin(\pi n)\) 才是周期序列。
1.3 時域離散系統
線性時不變時域離散系統
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線性性質
對於 \(x(n)=ax_1(n)+bx_2(n)\)，有
\[T[ax_1(n)+bx_2(n)]=aT[x_1(n)]+bT[x_2(n)] \]則稱系統為線性系統（否則為非線性系統）。
判斷技巧——微分方程中存在高次項 \(([x(n)]^2,x(n)x(n-1),\cdots)\)、常數項時是非線性系統。
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時不變特性
對於 \(y(n)=T[x(n)]\)，有
\[y_1(n)=T[x(n-n_0)]=y(n-n_0) \]稱系統為時不變系統（否則為時變系統）。
判斷技巧——微分方程中存在變系數、輸入序列存在不為 \(x(n\pm k)\) 的形式或形如 \(x(2n),x(n^2),\cdots\) 的形式時是時變系統。
系統的因果性和穩定性
-
系統的因果性
\[h(n)=0,\qquad(n<0) \]稱系統是因果系統（否則為非因果系統）。
判斷技巧——微分方程中存在 \(x(n+k),x(-n\pm k)\) 的形式 \((k>0)\)。
-
系統的穩定性
\[\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert h(n)\vert<\infty } \]則稱系統是穩定系統（否則為非穩定系統）。
判斷技巧——沖激響應的時域取有限范圍、值域有限的系統都是穩定系統。
線性時不變系統的輸出和輸入之間的關系
對於任一激勵，其對應響應均為該系統的沖激響應與該激勵的卷積。
- 卷積的計算方法
- 圖解法
- 解析法
- 卷積性質
- \(x(n)=x(n)*\delta(n)\)
- \(x(n-n_0)=x(n)*\delta(n-n_0)\)
- \(y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)\)
- \(x(n)*[h_1(n)*h_2(n)]=[x(n)*h_1(n)]*h_2(n)\)
- \(x(n)*[h_1(n)+h_2(n)]=x(n)*h_1(n)+x(n)*h_2(n)\)
1.4 時域離散系統的輸入輸出描述法——線性常系數差分方程
線性常系數差分方程
線性常系數差分方程的遞推解法
想法：根據初始條件求出 \(y(0)(,y(1),\cdots)\)，並通過遞推給出任意 \(n\) 值的系統輸出。
其他解法——微分方程，z域變換
滑動平均濾波器
本章介紹了一種簡單的濾波器，作用是通過接收時刻 \(n\) 開始的，時長為 \(\Delta n\) 的輸入信號，並在時刻 \(n+\Delta n\) 輸出從 \(n\) 到 \(n+\Delta n\) 時刻的算術平均值，即
從信號角度看，滑動平均濾波器起到了對快速變化的信號進行平滑處理的作用。
Chap 2 時域離散信號和系統的頻域分析
本章介紹的主要內容是時域離散信號的傅里葉變換和z域變換，同時對時域采樣定理的證明作前置鋪墊。
2.2 時域離散信號的傅里葉變換
時域離散信號的傅里葉變換定義
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傅里葉變換定義與存在條件
\[X(e^{j\omega})\triangleq\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n} \]存在條件：\(\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x(n)\vert<\infty }\)
傅里葉變換不存在的處理方法——引入奇異函數、引入離散傅里葉級數
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傅里葉逆變換
\[x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi X(e^{j\omega})e^{j\omega n}\mathrm{d}\omega \]具體證明見《信號與系統》
周期信號的離散傅里葉級數
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離散傅里葉級數（離散傅里葉逆變換）
\[\tilde{x}(n)=\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{j\frac{2\pi}{N}kn} \]根據上式的分析，等式兩邊 \(\tilde{x}(n)\) 和 \(a_k\) 等價位置互換，得到離散傅里葉系數的定義：
\[\tilde{X}(k)=\sum_{k=0}^{N-1}\tilde{x}(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}. \]其中 \(\displaystyle{a_k=\frac{1}{N}\tilde{X}(k)}\,.\)
由此定義
\[\begin{array}{l} \displaystyle{\tilde{X}(k)= \mathrm{DFS}[\tilde{x}(n)] = \sum_{k=0}^{N-1}\tilde{x}(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}, \\ \displaystyle{\tilde{x}(n)=\mathrm{IDFS}[\tilde{X}(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\tilde{X}(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}}. \end{array} \]
周期信號的傅里葉變換
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基礎結論：\(\displaystyle{ e^{j\omega_0 n}\,\leftrightarrow\, 2\pi\sum_{r=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_0-2\pi r)}\)
（類比：\(\displaystyle{ e^{j\omega_0 t}\,\leftrightarrow\, 2\pi\delta(\omega-\omega_0) }\)）
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一般周期序列 \(\tilde{x}(n)\) 的傅里葉變換
\[\displaystyle{ \tilde{x}(n) \,\leftrightarrow\, \frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tilde{X}(k)\delta\left( \omega-\frac{2\pi}{N}k \right) } \]