2 離散信號和抽樣定理
2.1 離散信號
- Q: 離散和抽樣有何關系？抽樣有什么樣的“損失”亟待恢復？
A: 離散信號可以直接測量得到，但大多數離散信號是由連續信號經過離散化（抽樣）得到的。
“損失”：連續到離散，無限長到有限長。
我們希望可以由采樣后的結果唯一無偏恢復原始連續信號。（但簡明起見，我們先只考慮連續到離散這一部分的損失） - Q: 抽樣會對周期函數的周期產生何影響？舉例說明。
A: 提示：（一般情況下）若抽樣得到定義域為整數的信號，那么對於（最小正）周期為有理數的函數將可能導致結果最小正周期擴大整數倍。對於周期為無理數的函數將可能導致結果不再是離散周期函數。
注：實際中對於有限時間內，有時可以用有理數近似無理數。
注：由於定義域為整數，因此很多結論將和數論事實有關。例如兩個離散周期信號的疊加的周期一般是兩個周期的最小公倍數。 - Q: 嘗試用其它數學中的概念類比記憶“奇信號”“偶信號”“共軛對稱信號”“共軛反對稱信號”之間的聯系。
A: 舉例：對稱矩陣是轉置后等於自身，厄米矩陣是共軛轉置后等於自身。
偶信號是“反向”后等於自身，共軛對稱信號是共軛且“反向”后等於自身。
奇異信號
- Q: 考察梳狀函數\(Comb(t/\Delta)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\delta(t/\Delta-m)\).
其中狄拉克\(\delta\)函數（形式上）滿足\(\delta(t)=0,t\ne 0;\delta(t)=+\infty, t=0;\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1\). 這是所謂的“奇異信號”。
如何用它形式上表示采樣？
注：此處梳狀函數指的不是\(Comb(t/\Delta)=1,當 t=n\Delta;Comb(t/\Delta)=0,otherwise\)，而是“奇異”的。
A:
\(x_\Delta(t)=x(t)\cdot Comb(\frac t\Delta)\)就是采樣結果。采樣結果是奇異信號。
注：每個采樣點\(x(n\Delta)\)“附近的積分面積”是\(\Delta x(n\Delta)\). 與之對比，梳狀函數\(Comb(x)\)在所有整數點處奇異且“附近的積分面積”為1.
注：\(x_\Delta (n\Delta)\)顯然等於無窮（是奇異點），但\(x(n\Delta)\)是有限數。總之，奇異信號\(x_\Delta(t)\)和離散信號\(x(n\Delta)\)相對應（且后面還知道它們的頻譜在一定范圍內相等），但兩符號的意義有區別！
注：此處的外層系數\(\Delta\)乘除放在哪里有多種選擇，都是合理且等價的（課本第三章第四節就有一些討論）。此處我們在采樣時不除以\(\Delta\)，使得奇異點附近積分面積在采樣后是函數值的\(\Delta\)倍了（而不相等），但好處是出現了前述的“頻譜相等”關系。 - Q: 為什么我們在0.中想引入與離散信號\(x(n\Delta)\)在一定意義下等價（頻譜相等）的奇異信號呢？
A: 奇異信號可以當作連續信號處理，其遵守許多關於連續信號的運算規則。其實際上就是連續信號在某種意義下的極限。這樣一來涉及離散信號的運算可以看成連續信號運算的特殊情況。（注：但是奇異信號也有一些特殊的處理規則和禁忌）
言之成理即可。 - Q: 0.中提到的\(x_\Delta(t)\)與\(x(n\Delta)\)的頻譜有何關系？
A: 我們在此考察\(f\in [-1/2\Delta,1/2\Delta]\)范圍，根據離散信號頻譜定義，\(x(n\Delta )\)的頻譜為\(X_1(f)=\Delta \sum x(n\Delta)e^{-i2\pi n\Delta f}\).
另一方面，奇異信號\(x_\Delta(t)=x(t) Comb(\frac t\Delta)\)的頻譜\(X_2(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x_\Delta (t)e^{-i2\pi ft}dt=\Delta \sum x(n\Delta )e^{-i2\pi fn\Delta}\)，就說明了\(x_\Delta(t)\)的頻譜在考察范圍內與\(x(n\Delta)\)相同。
注：此處還有牛角尖可以鑽：為什么定義離散信號頻譜是\(\Delta \sum x(n\Delta)\cdots\)而不是\(\sum x(n\Delta)\cdots\)呢？這就是人為約定。在此約定下，由頻譜積分得到\(x(t)\)時，沒有系數。否則有系數。參考本篇2.3節。
2.2 連續信號的離散化，正弦波的抽樣問題
- Q:
（根據課堂）本書本章反復強調的對邊界情況的嚴謹更像是數學人做的理論，而不貼近工程實際。有興趣的可以仔細了解這些細節。
我們從實際應用起見，忽略臨界情況。（之后都忽略）
對於（單一頻率）正弦波的抽樣問題，當抽樣間隔（）時，由離散信號\(s(n\Delta)\)的（）個點可以唯一確定正弦波（連續信號）\(s(t)\)，原因是已知\(0<2\pi f\Delta<\pi\)時，只要設法知道（）就能唯一確定\(f\)，之后再初等地確定（）即可。
A:
\(\Delta < 1/2f\)（\(1/2f\)即正弦波半周期）（注意：本節說抽樣間隔小於\(1/2f\)並不是說事先知道\(f\)值，只需要定剩余兩個參數\(A,\phi\)了。而是說我們知道待求的\(f\)不會超過\(1/2\Delta\). 之后相關說法都作類似理解）
3
\(cos(2\pi f\Delta)\)（注：具體求\(cos(2\pi f\Delta)\)的方法是寫出幾個\(s(k\Delta)\)等的表達式，設法利用三角恆等變換，線性組合即可）
\(A,\phi\) - Q: 對於正弦波參數的估計，如果約束個數太多怎么辦？
A: 提示：實際工程中，為了減小誤差，需要適當增加約束個數，使用最小二乘法等作估計。反而不應該恰好只用三個點。
注：工程實際上，如果數據足夠多，那么甚至還能還原出信號中附帶的高斯噪聲的\(\sigma\)等。 - Q: 如何理解\(f\)和\(f+\mu/\Delta,\mu\in \mathbb Z\)的聯系？這容易說明如果抽樣間隔\(\Delta\)大於正弦波的一個周期\(1/f\)時，（）。那又如何得出有關“半個周期”的結論呢？
A: 頻率變大\(\mu/\Delta\)時，每個抽樣間隔\(\Delta\)恰好多走整數\(\mu\)個周期，因此在離散信號的序列上看不出區別。注意\(\mu\)可以是負整數。
括號填：不能由離散信號唯一恢復出原始的正弦波（連續信號）。
根據對稱性：振幅不變，頻率取相反數（再適當改變相位）可以得到不變的離散信號。因此\(f\)和\(-f\)可能得到相同的離散信號。綜上，\(\pm f+\mu/\Delta,\mu\ne 0,\mu\in \mathbb Z\)中只要任何一個頻率值落在待考察頻率范圍\([0,f]\)內，就將造成恢復不出唯一的正弦波。
因此，唯一恢復要求\(f<1/2\Delta\). - Q: 簡單談談恢復正弦波過程中的實際問題。
A: 出現大量高頻噪聲，需要“滑窗”平均一下。
實際是一個凸包，不是嚴格單頻時需要設法估計\(f_0\).
噪聲導致頻率凸包中心被“移動”。
離散到離散傅里葉變換時\(f_0\)不在“整數點”上。
利用先驗信息（例如實信號頻譜對稱性）可能減少噪聲影響。
2.3 帶限信號與奈奎斯特頻率
- Q: 帶限信號展開成級數相比有限時間內信號展開成級數有何聯系和區別？
A: \(X(f)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}d_ne^{-i2\pi nf/L},d_n=\frac 1L\int_{f_0}^{f_0+L}X(f)e^{i2\pi nf/L}df\). 和之前有限時間內信號展開成級數相比，相差負號。 - Q: \(d_n\)和\(x(\cdot)\)間建立聯系\(d_n=\frac 1Lx(\frac nL)\)的過程中，“帶限”起到什么作用？如何記憶\(\frac 1L x(\frac nL)\)中的系數？
A: 對於帶限信號，傅里葉變換的逆向\(x(t)=\int X(f)e^{i2\pi ft}df\)的積分限只需要考慮有限區間\([f_0,f_0+L]\)，該積分限與傅里葉展開的\(d_n=\frac 1L\int_{f_0}^{f_0+L}X(f)e^{i2\pi nf/L}df\)相同。
提示：
首先，\(L\)出現在括號內分母，反應了時域和頻域“倒數”關系，即頻域中圖像“變寬”，時域中圖像“變窄”。
\(L\)趨向於正無窮時，傅里葉展開和傅里葉變換的關系類似於“黎曼和”與“定積分”的關系（對比\(X(f)=\sum d_ne^{-i2\pi nf/L}\)和\(X(f)=\int x(t)e^{-i2\pi ft}dt\)），這就不會忘記前面的系數\(\frac 1L\).
記憶方式合理即可。 - Q: 上兩問和離散信號頻譜定義式有何聯系？
A: \(d_nL=x(n/L)\)或說\(d_n/\Delta=x(n\Delta)\)
離散信號頻譜定義：\(X(f)=\Delta\sum x(n\Delta)e^{-i2\pi nf\Delta}\)正是由傅里葉展開啟發而來。
注：\(x(n\Delta)=d_n/\Delta = \int_{f_0}^{f_0+L} X(f)e^{i2\pi ft}df\)前面無需系數，這與一般信號用頻譜計算時域是一致的。 - Q: 接上，默寫對一般復信號的奈奎斯特抽樣定理（只需寫出其公式）。
A: 還原出連續信號頻譜：\(X(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\Delta x(n\Delta)e^{-i2\pi n\Delta f}\). 注：這里的\(\Delta\)也可以用\(t_0\)表示，這樣\(t_0f\)和以前出現過的\(f_0t\)形式上對稱。（注：式子相同，意義可能不同。此處還原的連續信號頻譜也被定義為離散信號頻譜）
還原出連續信號：\(x(t)=\int_{f_0}^{f_0+L}X(f)e^{i2\pi ft}df\)
\(=\int_{f_0}^{f_0+L}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\Delta x(n\Delta)e^{-i2\pi n\Delta f}e^{i2\pi ft}df\)
\(=\Delta\sum x(n\Delta)\frac{e^{i2\pi(t-n\Delta)(f_0+L)}-e^{i2\pi(t-n\Delta)(f_0)}}{i2\pi(t-n\Delta)}\) - Q: 實信號的振幅譜是（）（選填“偶函數”“奇函數”，后同），相位譜是（）。原因是什么？因此對帶限實信號考慮上一問有何結論？（本篇之后都考察實信號）
A: 偶函數，奇函數。
這是“\(x(t)\)頻譜\(X(f)\)則\(\bar x(t)\)頻譜\(\bar X(-f)\)”的特例。
\(f_0\)和\(f_0+L\)互為相反數，記為\(-f_c,f_c\)，其中\(f_c\)是截頻。代入即得\(x(t)=\Delta\sum x(n\Delta)\frac{sin(2\pi(t-n\Delta)f_c)}{\pi(t-n\Delta)}=\sum x(n\Delta)sinc(\frac t{\Delta}-n)\)
注：其中\(sinc(x)=sin\pi x/\pi x\)，\(2f_c=L=1/\Delta\). - Q: “恢復出連續信號”的實際意義是什么？
A: 在插值，超分辨率等時，有時需要直接恢復出連續信號。但在大多數時候，工程實踐並不要求恢復出連續信號，而只是把“能恢復”當作一項理論保證，確保信號處理的合理性。 - Q: 題4.結論和（離散）狄拉克\(\delta\)函數有何聯系？（提示：利用\(sinc\)函數和狄拉克\(\delta\)函數在整數點的聯系）
A: 直接代入\(t=n\Delta\)，容易驗證等式成立。
注：\(sinc\)只看整數處取值就是離散的狄拉克\(\delta\)函數。
用卷積考察抽樣定理
- Q: 回憶梳狀函數與采樣的關系，並利用時域與頻域的“乘積對應卷積”關系考察采樣過程，寫出采樣結果的頻譜。
A: 回憶：\(x_\Delta(t)=x(t) Comb(\frac t\Delta)\)就是采樣結果。
梳狀函數\(Comb(t/\Delta)\)的頻譜：
由於\(\frac 1{\Delta}\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2}\sum\delta(t/\Delta-m)e^{-i2\pi nt/\Delta }dt=1\)，得到\(X_{Comb}(f)=\Delta Comb(\Delta f)\). （之后1.會對這個“得到”作進一步說明）
時域相乘就是頻域卷積，即采樣結果\(x_\Delta(t)\)頻譜為\(X(f)* \Delta Comb(\Delta f)\). - Q: 0.中，頻譜\(X_{Comb}(f)\)的奇異點處“附近積分面積”都是1，和0.中\(\frac 1\Delta\int_{-\frac \Delta 2}^{\frac \Delta 2}\cdots\)的積分結果1是對應的。注：此處頻譜\(X_{Comb}(f)\)千萬不要忘記乘以\(\Delta\).
即
\(\frac 1\Delta\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2}x(t)e^{-i2\pi nt/\Delta}dt\)的積分結果
\(=x(t)\)傅里葉展開第\(n\)項系數
\(=\)頻譜\(X(f)\)作為奇異函數，在奇異點\(n/\Delta\)附近的積分面積
解釋上述等式。
A: 第一個等號是傅里葉展開的定義。
第二個等號本質是狄拉克\(\delta\)函數的篩選性質。奇異函數可以把（連續）積分（具體到本場景：傅里葉逆變換，由頻譜求信號）轉化為（離散）求和（此處即級數求和得到信號），求和的系數就是對應奇異點附近的（帶符號）積分面積。
注：常見的此類運算有：奇異函數與連續函數相乘作積分（如此處傅里葉逆變換），奇異函數和連續函數作卷積。 - Q: 舉例說明1.答案中提到的“奇異函數和連續函數作卷積”。
A:
例如：本篇2.3節題4.就得到過卷積\(x(t)=\sum x(n\Delta) sinc(t/\Delta - n)\)。該卷積關於\(t\)連續，但是對於\(n\Delta\)是離散地加和可數項。這可以看成一個一般（非奇異）連續信號和另一個奇異信號作連續卷積，是連續卷積的特例。
又例如：離散卷積\(\sum_m x(m)y(n-m)\)也可以看成一個連續信號和一個奇異信號作卷積，即離散卷積是連續卷積的特例。注：此處不要把兩個離散信號都變成奇異信號，否則奇異乘奇異無意義。應該把一個變成一般的連續信號，另一個變成奇異信號。 - Q: 課上把之前涉及的抽樣定理稱為“抽樣定理1”，其表示采樣間隔合理，能夠恢復出連續信號的情況。利用0.的結果，說明為什么說采樣間隔小於\(1/2f_c\)是“好”的。
A: 提示：畫圖，發現當且僅當采樣間隔\(\Delta\)小於\(1/2f_c\)時，\(X(f)*\delta(\Delta f-m)\)和\(X(f)*\delta(\Delta f-m-1)\)不發生混疊(aliasing). - Q: 如果已知采樣間隔\(\Delta<1/2f_c\)，不發生混疊，那么對\(X(f)*\Delta Comb(\Delta f)\)再做一次低通濾波即可（）。結合（）和（）是傅里葉變換對，這就可以幫助解釋為什么2.3題4.中，要和\(sinc\)做卷積。請更具體地做出此解釋。
A: 還原出\(X(f)\)，方波，\(sinc\).
\(x_\Delta(t)\)頻譜限定在\([-f_c,f_c]\)范圍內是\(X(f)\)（就是原始的待還原的頻譜），而\(\frac 1\Delta sinc(\frac t\Delta)\)頻譜是\(rec(\Delta f)\)，其中\(rec\)表示僅在\([-1/2,1/2]\)范圍為1，其余區間為0.
從而\(x_{\Delta}(t)*\frac 1\Delta sinc(\frac t\Delta)\)的頻譜正是\(X(f)\). 根據卷積定義，得\(x_\Delta(t)*\frac 1\Delta sinc(\frac t\Delta)=\int \frac {x(s)}\Delta Comb(\frac s\Delta)sinc(\frac {t-s}\Delta)ds=\sum x(n\Delta)sinc(\frac t\Delta-n)\).
注：這是1.和2.的一個實例。
2.4 離散信號的頻譜和抽樣定理
- Q: 離散信號和周期信號有何聯系？
A: 提示：
- 思路1：回憶根據“篩選性質”，狄拉克\(\delta\)函數和1是傅里葉變換對，進而考察\(\delta(t-t_0)\)的頻譜，進而考察\(Comb(t/\Delta)\)的頻譜，進而考察\(x(t)Comb(t/\Delta)\)的頻譜。最后利用奇異信號頻譜和離散信號頻譜的對應關系。
- 思路2：直接利用傅里葉正逆變換對稱性。
無論哪種思路，得：周期信號的頻譜是奇異函數（周期信號本身可以是普通的連續信號，或奇異信號，參見上一節題0.）。更具體地，由上一節題1.，傅里葉展開對應項系數就是奇異點下積分面積，即\(d_n=\Delta x(n\Delta)\).
總結：周期信號和“與離散信號對應的奇異信號”是傅里葉變換對，而奇異信號與對應的離散信號（在考察范圍內）頻譜相同。
- Q: （帶限信號）在抽樣間隔足夠小時，抽樣所得離散信號頻譜在區間（）等於連續信號頻譜。那不滿足條件時會發生什么？（參考上節題3.）
A: \([-1/2\Delta, 1/2\Delta]\)
參考上節題3.發生混疊。當然在實際工程中，如果混疊程度足夠小，就只是加了一層噪聲，影響可以忍受。
混疊也就是\(X_\Delta(f)=\sum_m X(f+m/\Delta)\). - Q: 用課本證明方法證明以上結論（稱為抽樣定理2，即一般的、可能混疊情況的抽樣定理），步驟是
考察\(x(n\Delta)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)e^{i2\pi fn\Delta}df\). （再次注意：積分前沒有系數）
將無窮區間寫成（）的無交並，於是上式寫為（）。
接下來怎么繼續論證？
A: 可數個有限區間，\(\int_{-1/2\Delta}^{1/2\Delta}\sum_m X(f+m/\Delta)e^{i2\pi fn\Delta}df\)
根據離散信號和其帶限頻譜的一一對應關系，得到間隔為\(\Delta\)的離散信號\(x(n\Delta)\)的頻譜就是\(\sum_m X(f+m/\Delta)\)（唯一）。