目錄
5 沖激函數——\(\delta\)函數
5.1 沖激函數——\(\delta\)函數的定義和頻譜
- Q: 如何理解“\(\delta(t)=+\infty, t=0;\delta(t)=0,t\ne 0\)和\(\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)dt\)只反映了\(\delta\)函數的兩個特點，我們需要從\(\delta\)函數與其他函數的關系中了解\(\delta\)函數”？
A: \(\delta\)函數反映了某種工程中“結果導向”的思想。不管你具體結構，只要你“篩選性質”（和其他函數作用時特定關系）成立，就稱為\(\delta\)函數。“篩選性質”是其核心之義，而那兩個特點只是自然推論。
比如：和\(e^{-i2\pi ft}\)作用時篩選性質成立，就決定了頻譜。 - Q: 用頻譜證明函數列極限是沖激函數怎么做？
A: 提示：1和\(\delta\)是傅里葉變換對。實際上相當於證明頻譜極限為常數1
更詳細地，只需要證明\(lim_{\lambda\to\beta}\int_{-\infty}^{+\infty}G_\lambda(-f)\Phi(f)df=\phi(0)\)這樣“和試驗函數作用的極限”即可。（即：在試驗函數“看來”頻譜極限為常數1） - Q: 背誦\(cos2\pi f_0 t\)的頻譜。
A: 提示：\(e^{i2\pi f_0 t}\)就是“單頻”，也就是\(\delta(f-f_0)\)，則\(cos2\pi f_0 t\)頻譜當然就是\(\frac 12(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0))\) - Q: 用時域微分考察\(sgnt\).
A: \(sgnt\)頻譜\(1/i\pi f\)，\(2\delta(t)\)頻譜就是\(1/i\pi f\cdot 2i\pi f=2\).
注：若微分后頻譜\(S(f)\)不包含\(\delta(t)\)成分，那么\(S(f)/2i\pi f\)也不包含。故\(S(f)/2i\pi f\)一定唯一對應頻譜無\(\delta(t)\)成分的那個積分結果，例如此處\(sgnt\)。（即：指定積分常數，避免不唯一性）
注：課本方法是利用\(sinx/x\)或說\(e^{ix}/x\)的積分，直接計算\(1/f\)的傅里葉變換對。 - Q: 試驗函數和針對廣義函數的運算有何聯系？
A: 廣義函數是基本空間\(\mathscr D\)上的線性連續泛函，基本空間上試驗函數性質很好。故對廣義函數的一些運算轉移到試驗函數上。
（即：可以不“顯式知道”計算結果，只需要知道計算結果和試驗函數間如何作用即可。如對廣義函數求導，只需知道形式記號\(\delta'(t)\)在和試驗函數作用時有何結果即可） - Q: 接上，對廣義函數求導舉例說明。
A: \(\langle f', \phi\rangle=-\langle f,\phi' \rangle\)，其實是分部積分法，並利用試驗函數在有限區間之外都為0的性質。
注：實際應用中，即使對不緊支撐在有限區間上的函數\(f\)也可以使用類似的性質。因為我們可以考察與\(f\)在有限區間內相等的試驗函數\(f^*\)，然后論證\(f\)和\(f^*\)應當“無差別”。此具體論證的方法提示：可數個0相加仍為0.
5.2 \(\delta\)函數的微商
- Q: \(\delta\)函數微商的頻譜有何作用？
A: 例：對於多項式、多項式乘以三角函數等可以快速給出傅里葉變換對。 - Q: 如何求\(\delta\)函數微商和普通的連續函數的乘積？
A: 根據定義計算：\(\int \beta \delta^{(k)}\phi dt = (-1)^k(\beta\phi)^{(k)}=\cdots(乘積求導，萊布尼茲公式)\)，再把結果寫成各個\((-1)^k \phi^{(k)}\)的線性組合。
最后結果顯然只和函數\(\beta\)的局部相關。
5.3 用\(\delta\)函數求函數的微商和頻譜
- Q: 單位階躍函數的微商和上節有何聯系？
A: 可以由微積分基本定理直觀直接看出結果：\(u'(t)=\delta(t)\).
也可以用上節\(\langle u', \phi\rangle=-\langle u,\phi'\rangle\)看出。 - Q: 用\(\delta\)函數表示間斷函數的微商時，如何理解公式\(g^{(k)}(t)=\sum_{l=0}^{k-1}(g^{(l)}(t_0+)-g^{(l)}(t_0-))\delta^{(k-l)}(t-t_0)+u(t_0-t)g_1^{(k)}(t)+u(t-t_0)g_2^{(k)}(t)\)對於\(t_0\)是\(g^{(k)}(t)\)連續點時仍成立？
A: 根據微積分基本定理，若\(t_0\)是\(g^{(k)}(t)\)連續點，則也是上式中\(g^{(l)}(t)\)連續點，則第一項為0.
注：此處出現\(0\delta(t)=0\)並不是所謂“\(0\cdot \infty\)不定式”，類似地\(2\delta(t)\)也不能“\(2\cdot \infty = \infty\)”.
請回憶廣義函數定義。注意\(f(t)=1,t=0;f(t)=0,f\ne 0\)和\(f(t)\equiv 0\)處於同一等價類。
第二、三項中，\(g_1=g_2\)，只需保證\(u(t_0-t)+u(t-t_0)\equiv 1\)即可，而這顯然成立（此處看到定義\(u(0)=1/2\)是有理由的） - Q: 用\(\delta\)函數求頻譜時，如何克服積分導致的不唯一性問題？（回憶5.1節題3.）
A: 只要確保做微分前后頻譜不含\(\delta(t)\)成分即可。比如\(sgn\).
再比如：對於\(k\)次微分，有限區域外全為0的函數微分前后頻譜不含\(\delta(t),\delta'(t),\cdots,\delta^{(k-1)}(t)\)成分
（直接用\(\int\int x(t)e^{-i2\pi ft}dt\cdot \Phi(f) df=0\)即可說明這點。其中\(\Phi(f)\)是只有0附近有非零\(m\)階導數而大部分地方為0的函數。如果\(x(t)\)里有\(\delta^{(m)}\)的成分，那么這個積分肯定能提出\(\Phi\)的相應導數值，導致積分結果不為零）
（\(x(t)\)在0處間斷，或者有\(\delta(t)\)，都不影響。只有\(x(t)\)出現了非零的多項式成分\(c_0+c_1t\)等等才影響）
這就說明可以把\(\delta\)函數和其微商線性組合的頻譜\(S(f)\)直接除以\((i2\pi f)^m\)得到結果，如同課本例1.
習題
- Q: 用\(\delta\)函數求\(g(t)=t,0\le t\le 1;g(t)=0,otherwise\)時，求一階導得到了“方波”嗎？
A: 否，注意有間斷點，求導得到（負的）\(\delta\)函數