緒論
- Q: 舉例說明“信號是攜帶信息的一元或多元函數”
A: 如聲音、心電圖、氣象溫度記錄是一元函數\(f(t)\)，圖像是二元函數\(f(x,y)\)，電影是三元函數\(f(x,y,t)\)，地下構造是三元函數\(f(x,y,z)\). - Q: 如何理解“數字信號處理要靈活得多，應用也要廣泛得多”？
A: 信號處理分為模擬信號處理（自變量為連續的）和數字信號處理（例：計算機中數字信號自變量和取值都是離散的，信號取值為有限長二進制數。即：經過抽樣和量化）。
模擬信號處理通過電子線路實現，數字信號處理通過計算機實現。計算機相比電子線路更靈活，更通用。
1 連續信號的頻譜和傅氏變換
1.1 有限區間上連續信號的傅氏級數和離散頻譜
- Q: 頻率，振幅，相位和頻譜有什么關系？
A: 頻譜中的頻率是已知（指定）的（一系列可數或不可數個值），而振幅和相位在此條件下就由原始的信號決定，這些振幅和相位稱為信號的頻譜。 - Q: 兩種傅氏級數展開式
\(x(t)=b_0+\sum_{n=1}^\infty(a_nsin2\pi nf_0t+b_ncos2\pi nf_0t)\)
\(x(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infty A_nsin(2\pi nf_0t+\phi_n)=\sum_{n=0}^nA_nsin(2\pi nf_0t+\phi_n)\)分別如何轉換成工程中常見的復數形式？舉例說明復數形式的傅氏級數仍有豐富物理意義。
A: 工程中使用復數形式傅氏級數往往更方便。
\[x(t)=b_0+\sum_{n=1}^\infty(a_nsin 2\pi nf_0t+b_ncos 2\pi nf_0t)\\ =b_0+\sum(a_n\frac{-i(e^{i2\pi nf_0t}-e^{-i2\pi nf_0t})}2+b_n\frac{e^{i2\pi nf_0t}+e^{-i2\pi nf_0t}}2)\\ :=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i2\pi nf_0 t}\]
\[x(t)=\sum_{n=0}^nA_nsin(2\pi nf_0t+\phi_n)\\ =\sum \frac {-iA_n(e^{i\phi_n}e^{i2\pi nf_0t}-e^{-i\phi_n}e^{-i2\pi nf_0t})}2\\ :=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i2\pi nf_0 t}\]
例：兩邊求輻角不難發現\(Arg c_n=\phi_n-\pi/2,n>0\).
關於\(c_n\)模長，以及關於\(n\le 0\)的情況對應的公式略。這些都體現了\(c_n\)的物理意義。
- Q: 背誦\(c_m\)的表達式，並解說被積函數指數處的負號。
A: \(c_m = \frac 1T\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-i2\pi mf_0t}dt\)，負號可以理解成
為了留下\(e^{i2\pi mf_0t}\)項而兩邊同乘\(e^{-i2\pi mf_0t}\)，這樣左側各項只有\(c_m\)變為常數，其余都是周期函數。積分后左側只剩下\(c_m\). 此時右側就是\(x(t)e^{-i2\pi nf_0t}\)積分。
注：\(\int_0^T e^{i2\pi (n-m)f_0t}dt=\delta_{nm}T\)，\(\delta_{nm}\)是克羅內克記號。 - Q: 對於傅里葉展開，我們考察以下模式化的過程。
- 寫出兩個變換式。
\(x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i2\pi nf_0 t}\) (1)
\(c_n=\frac 1T \int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-i2\pi nf_0 t}dt\) (2)
問：如果考察的是傅里葉變換，這里寫出的兩個變換式就應該是（） - 換兩處變量名。
首先，(1)中換變量名\(c_n\)為\(d_n\)，表示反設同樣的\(x(t)\)對應了兩組不同的展開式系數\(\{c_n\},\{d_n\}\)。
其次，(2)中換變量名\(n\)為\(m\)，避免在代入時出現內層變量遮蔽(Shadow)外層同名變量。
得到：
\(x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}d_ne^{i2\pi nf_0 t}\) (1)
\(c_m=\frac 1T \int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-i2\pi mf_0 t}dt\) (2) - 將（）代入（）的（）側。
- 化簡（其中需要交換（））。從而說明了（）。
這一套模式化步驟的意義是什么？
- 寫出兩個變換式。
A: \(X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-i2\pi ft}dt,x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)e^{i2\pi ft}df\)
(1)，(2)，右
積分和求和順序（也可稱為：積分順序。因為求和可以看成特殊的積分），\(\forall n,d_n=c_n\)
意義：如果\(x(t)\)可以表達為\(\sum d_ne^{i2\pi nf_0 t}\)，則\(d_n\)只可能是\(c_n\)，也就是從信號\(x(t)\)可唯一確定展開式系數\(c_n\).
- Q: 剛剛證了一一對應的一邊，現在想證一一對應的另一邊。模仿以上步驟，把(2)代入(1)的右側，過程中會有什么麻煩？
A: \(\sum e^{i2\pi nf_0 s}\frac 1T \int y(t)e^{-i2\pi nf_0 t}dt=\frac 1T\int\sum y(t)e^{i2\pi nf_0 (s-t)}dt\)，這難以進行初等的化簡。之后我們會知道使用狄拉克\(\delta\)函數可以處理。
注：傅里葉變換與傅里葉逆變換間按此手法代入，也將得到類似的難以初等化簡的形式。 - Q: 設\(x(t)\)在有限區間上連續或者只有（）個（）類間斷點。只有有限個極大、極小點。則傅氏級數（）（收斂類型）收斂到（）。
A: 有限，一，點點，左極限和右極限平均值
（注：區間邊界處認為“循環”地看“左、右”） - Q: 如何理解“復雜波和簡單波是相對的”？
A: 提示：選定方波是簡單波，把其它波分解成方波的疊加（線性組合），稱為沃希函數分析。
注：然而理論和實踐表明傅里葉展開仍然是最重要的。
1.2 傅氏變換，連續信號與頻譜
- Q: 定義（連續）振幅譜。
A: 對於\(\mathbb R\)上連續函數\(x\)，有傅里葉變換和逆傅里葉變換：\(X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-i2\pi ft}dt,x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)e^{i2\pi ft}df\). \(X(f)\)是復函數，表示成\(X(f)=A(f)e^{i\Phi(f)}\)，其中\(A(f)=|X(f)|\)就是\(x(t)\)的振幅譜。 - Q: 為什么要采用頻率\(f\)而不是角頻率\(\omega\)書寫公式？
A: 這時正、逆傅里葉變換是對稱的，且前面沒有系數\(1/\sqrt {2\pi}\). 這比較美觀好記。
注：當然，“代價”是指數處是\(\pm i2\pi ft\)而不是簡單的\(\pm i\omega t\). - Q: 這里正、逆傅里葉變換的正負號是一條人為約定。該約定和上一節傅里葉展開的公式有什么聯系？
A: 對於傅里葉展開，我們理解為把一個信號展開成一系列信號的和。這里我們比較自然地認為不帶負號，即系數\(c_n\)對應\(e^{i2\pi nf_0 t}\)這一項。
在傅里葉變換中，把“積分”看成擴展了的和，與傅里葉展開做類比，就可以幫助記憶\(x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)e^{i2\pi ft}df\)沒有負號。（當然，相應另一邊就有負號） - Q: 實偶函數的頻譜有何性質？
A: 恆為實數（相位譜恆為0），且為偶函數。
注：共軛性質：\(x(t)\)頻譜為\(X(f)\)則\(\bar x(t)\)頻譜為\(\bar X(-f)\). 當\(x(t)\)為實信號有\(X(f)=\bar X(-f)\)，本問是上述命題的特殊情況。 - Q: 哪些頻譜和一些概率分布的特征函數對應，從而易於記憶？具體如何建立兩者的聯系？
A: 方波對應均勻分布，鍾形波對應正態分布，單邊指數衰減波對應指數分布，雙邊指數衰減波對應拉普拉斯分布。
具體地，例如\((2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}\)特征函數\(e^{-t^2/2}\)，即
\[e^{-t^2/2}=\int_{-\infty}^{+\infty} (2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}e^{itx}dx\\ \int_{-\infty}^{+\infty}(2\pi)^{-1/2}e^{-4\pi^2(\frac x{-2\pi})^2/2}e^{-i2\pi t(\frac x{-2\pi})}d(\frac x{-2\pi}) \cdot (-2\pi)\\ =\int_{+\infty}^{-\infty}(2\pi)^{-1/2}e^{-(-2\pi x^*)^2/2}e^{-i2\pi tx^*}dx^*\cdot (-2\pi)\\ =\int_{-\infty}^{+\infty}(2\pi)^{-1/2}e^{-(-2\pi x^*)^2/2}e^{-i2\pi tx^*}dx^*\cdot (2\pi)\]
即\((2\pi)^{-1/2}e^{-(2\pi t)^2/2}\)的頻譜是\(e^{-f^2/2}/(2\pi)\).
總結：概率分布的自變量\(x\)變成\(-2\pi t\)，特征函數\(f(t)\)把自變量從\(t\)變為\(f\)后除以\(2\pi\).
拉普拉斯分布\(e^{-|x|}/2\)的特征函數\(1/(1+t^2)\)，故雙邊指數衰減波\(e^{-|2\pi t|}/2\)的頻譜\(1/(2\pi(1+f^2))\).
\(-\pi\)到\(\pi\)均勻分布的特征函數\(\frac{e^{i\pi t}-e^{-i\pi t}}{2\pi it}=\frac{sin(\pi t)}{\pi t}\)，故只有\(-1/2\)到\(1/2\)值為\(1/2\pi\)的信號的頻譜\(\frac{sin(\pi f)}{2\pi \cdot\pi f}\).
注：特征函數在0處總為1，這可以用來幫助記憶頻譜。
注：對於高斯，也可以記憶\(e^{-\pi t^2}\)對應\(e^{-\pi f^2}.\)
- Q: 如何利用方波的頻譜記憶三角波的頻譜？
A: 方波和方波的卷積是三角波（回憶：考慮兩個獨立同分布的\(-1/2\)到\(1/2\)的均勻分布的隨機變量和），就容易記憶\((-1,0),(0,1),(1,0)\)三點構成三角形對應的三角波的頻譜是\(sinc^2(f):=sin^2(\pi f)/(\pi f)^2\).
注：對於圍成面積1的方波，卷積后得到圍成面積1的三角波，頻譜\(sinc\)做平方，這一事實可以和概率分布的性質進行聯系。（概率分布具有歸一性，且獨立同分布變量和的分布的特征函數等於特征函數乘積）
注：\(sinc\)函數有多種定義。此處的定義\(sinc(x)=sin\pi x/\pi x\)有個好處：只看整數處的取值，你發現了什么？
1.2.3 頻譜的基本性質
- Q: 為什么在工程實際中只需要知道\(f\ge 0\)時的頻譜？
A: 對於實信號，容易證明\(X(f)=\bar X(-f)\). - Q: 本書定義中的時移定理和隨機變量加常數的特征函數有何聯系和區別？
A: 提示：特征函數相當於本書的逆傅里葉變換。（因此下面可以看到相差負號）
所以：時移延遲\(t_0\)時（也就是考慮\(x(t-t_0)\)，相當於概率分布整體加了一個常數\(t_0\)），本書這邊頻譜乘以\(e^{-i2\pi ft_0}\)；概率論中隨機變量加常數\(\mu\)時特征函數卻乘以了\(e^{i\mu t}\). 兩者相差負號。 - Q: 把信號\(x(t)\)當成頻譜時（即：直接改變橫坐標標注），如何計算這樣的頻譜對應的信號？
A: \(x(t)\)的頻譜是\(X(f)\)，則\(X(-t)\)的頻譜是\(x(f)\).
注：可以減輕記憶負擔，只要記住多出了一個負號，即可。（根據翻轉定理，你也可以記憶\(X(t)\)的頻譜是\(x(-f)\)） - Q: 綜合時移和傅氏變換的對稱性（即前述1.和2.），可以有什么結論？
A: 頻移定理。已知\(X(-t)\)頻譜是\(x(f)\)，現對\(X(-t)\)做時移延遲\(c\)，得\(Y(-t):=X(-t+c)=X(-(t-c))\)的頻譜是\(x(f)e^{-2\pi ifc}:=y(f)\).
\(Y(-t)\)頻譜是\(y(f)\)，根據2.，得\(y(t)=x(t)e^{-2\pi itc}\)的頻譜就是\(Y(f)=X(f+c)\).
注：通過線性組合得到正、余弦的情形。
注：頻移和時移相差正負號。時移中，括號內\(-t_0\)對應負；頻移中，括號內\(+c\)對應負。結合1.，這里的一種記憶方式是記憶頻移（逆傅里葉變換）對應概率論中求特征函數。因此頻移中的\(X(f+c)\)對應隨機變量\(-c\)，進而對應\(e\)指數處負。 - Q: 利用均勻分布的特征函數記憶理想帶通頻譜及其信號。
A: 均勻分布\(p(x)=1/(2\delta)(當|x-x_0|<\delta)\)的特征函數\(e^{itx_0}\frac{e^{it\delta}-e^{-it\delta}}{2\delta it}=e^{itx_0}sin(t\delta)/\delta t\)（\(t=0\)處連續）
則利用上一節4.，\(x\)變\(2\pi f\)，特征函數除以\(2\pi\)（注意這里是由頻譜求信號，故相比之前\(x\)變\(-2\pi f\)相差負號）
得到\(S(f)=1/(2\delta)(當|2\pi f-x_0|<\delta)\)的信號為\(e^{itx_0}sin(t\delta)/2\pi \delta t\).
即\(S(f)=1(當|f-x_0/2\pi|<\delta/2\pi)\)的信號為\(e^{itx_0}sin(t\delta)/\pi t\).
即\(S(f)=1(當|f\pm x_0/2\pi|<\delta/2\pi)\)的信號為\(2cos(tx_0)sin(t\delta)/\pi t\).
注意理想帶通可以通過絕對值相同的正頻率和負頻率成分。 - Q: 隨機變量做線性變換后的特征函數和本書“時間展縮定理”有何聯系和區別？
A: \(x(at)\)相當於時間加快\(a\)倍，也相當於隨機變量乘以\(1/a\)，頻譜結果為\(\frac 1{|a|}X(f/a)\)，其中\(|a|\)相當於變換的“雅可比行列式”。 - Q: 解釋時移定理、時間展縮定理表達式的直觀物理含義。
A: （僅供參考）時移定理：頻譜輻角相比變化前，變化了常數值\(-2\pi ft_0\)，那么給定時間\(t\)時，應該考察信號圖像上原來考察點左側\(t_0\)之處的點（原來考察\(x(t)\)的值，現在考察\(x(t-t_0)\)的值）。相當於信號圖像右移\(t_0\).
時間展縮定理：時域和頻域直觀上互為“倒數”關系。時域變為\(x(at)\)相當於時間尺度加快，那么占據的頻率自然更高，且頻率范圍大小也更大。（例如1kHz-2kHz變為2kHz-4kHz）
但是，如果簡單只把頻譜做拉伸，那么又會使得振幅錯誤地成倍數放大。所以要把振幅縮回去。
實際應用舉例
- Q: 為什么要熟記方波、三角波、鍾形波頻譜？
A: 方波可用於時鍾信號，截斷等。三角波可用於掃描等。鍾形波可用於“在時域和頻域上同時作用”等。它們在實際工程中有廣泛應用。 - Q: 時移定理的一個應用：兩張圖中有一個物體移位了，試圖檢測位移大小。實際工程相比理論上時移定理的使用可能出現什么麻煩？
A: 例如inside-out, outside-in問題，無限和有限區別，采樣和量化，噪聲和回歸，等等。
習題
- Q: 對於常用積分公式\(\int_a^b e^{-i2\pi (n-m)f_0 t}dt=\frac{e^{-i2\pi (n-m)f_0 b}-e^{-i2\pi (n-m)f_0 a}}{-i2\pi (n-m)f_0}\)，有什么需要注意的事項？
A: 如：要討論\(n=m\)的情況。最后匯總結果也要單獨檢查。
特別地，\(m=0\)時要討論\(n=0\)的情況。 - Q: 時域、頻域微分定理中的正負號從何而來？
A: 例如時域微分時，頻域乘以\(2\pi if\)，這是由於\(x(t)=\cdots\)式子中右側指數為正，故兩邊求導時，也得到正號。 - Q: 公式定律的“逆用”始終是各類考試的重點。試對微分定理逆用和“用頻譜求積分”做出說明。
A: 微分定理逆用：乘以\(t^n\)可以對應於另一個域的微分和數乘。
“用頻譜求積分”：平時是用積分求頻譜。而在已知某信號頻譜時，可以求某些積分。
這一般通過對稱定理實現。例如方波頻譜為\(sinc\)，但\(sinc\)積分不好求，此時利用對稱定理，用\(sinc\)的頻譜就是方波就可能求。