離散時間系統基本理論
離散時間序列
序列的表示
序列的分類
常用時間序列
- 離散實序列
- 單位階躍
- 單位脈沖
單位脈沖和單位階躍響應的關系如下：
中間的表述方式可以理解為離散序列的“積分”。
- 矩形序列
- 離散實指數序列
- 離散復序列
\(\frac{2\pi}{\omega}=\frac{N}{m}\)，其中左側化簡后的分子和分母分別與右側N和m對應，m為周期內含有的包絡數，N為周期。
- 頻率大小的影響：
\(e^{jwn}\)，當ω越大，\(\frac{2\pi}{ω}\)越小，如果是連續時間序列，則必然是周期變小，但是對於離散時間序列，當\(ω=ω+2k\pi\)時，離散序列對應的頻譜圖相同。
- 頻率正負的影響：
正頻率是逆時針；負頻率是順時針；
- 相位影響：
相變＝時移，與Φ和ω均有關。
序列的分解
- 離散時間信號的分解：
\[x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n-k] \]
任意序列均可分解為不同延遲單位脈沖序列的線性組合。
離散時間系統
系統的表示
- 函數表示：
- 框圖表示：
系統的分類
- 無記憶系統，系統的輸出只與當前時刻輸入相關；（不需要存儲器）
- 線性系統，系統的輸出和輸入具有相同的線性組合（齊次性(比例性)[乘系數]和疊加性(可加性)[組合]）
例如：
-
時不變系統，系統的性能不隨時間的改變而改變。
-
因果系統，當前時刻輸出僅取決於當前及以前時刻輸入，與以后的輸入無關。
-
穩定系統，有界輸入（序列中的每個值均有界）產生有界輸出。
LTI（線性時不變）系統的卷積和表示
\[y[n]=\sum_{\mathrm{k}=\infty}^{\infty} x[k] h[n-k] \]
LTI系統的性質
- LTI系統的因果性判據：單位脈沖響應為因果序列h[n]=0,n<0。
- LTI系統的穩定性判據：單位脈沖響應絕對可和。
- LTI系統的卷積具有交換律，結合率，分配率
由卷積的結合率得到級聯系統；
由卷積的分配率得到並聯系統；
線性常系數差分方程
- 使用遞推迭代法解題：
-
線性系統，輸入為0，輸出一定為0。
-
線性常系數差分方程表示的系統如果滿足初始松弛條件（初始值為0），則該系統是因果的LTI系統。
實驗1 卷積差分實現LTI系統
LTI濾波器的分類
其中IIR濾波器通過差分方程實現；FIR濾波器通過卷積和實現。
- FIR濾波器的實現：
其中第二步為95階的FIR濾波器。h中輸入的為\(z^0\)至\(z^{-95}\)的系數
[x, fs] = audioread('D:\Carmen_overture_noisy_8k_9.5k.wav');
%x是音頻數據，fs是采樣頻率
h=[-0.002876661682599,0.0001746575876459, 0.001360371198876,-0.002796136591917,...
0.002880772243978,-0.001242291159412,-0.001096962526785, 0.002332983510346,...
-0.001307649173739,-0.001368748034394, 0.003551168105363,-0.003178880019962,...
9.893335945349e-05, 0.003475646276925,-0.004524249512869, 0.001744981182385,...
0.003045028934091,-0.005977896766947, 0.004207636166295, 0.001465437032989,...
-0.00672145288472, 0.006941679082687, -0.00116986290666,-0.006501434008723,...
0.009711662701064,-0.004996261645046,-0.004776969477893, 0.01192171509396,...
-0.009829941024313, -0.00115476496081, 0.01293443155674, -0.01539978947815,...
0.004810016748951, 0.0119042644155, -0.02125902167617, 0.01363881290096,...
0.007699907341382, -0.02688621990559, 0.02641118466116,-0.001738442488601,...
-0.03172614931786, 0.04644986397443, -0.02220940882214, -0.03527701713573,...
0.08975330687438, -0.08680834632482, -0.03715598047208, 0.5689856620233,...
0.5689856620233, -0.03715598047208, -0.08680834632482, 0.08975330687438,...
-0.03527701713573, -0.02220940882214, 0.04644986397443, -0.03172614931786,...
-0.001738442488601, 0.02641118466116, -0.02688621990559, 0.007699907341382,...
0.01363881290096, -0.02125902167617, 0.0119042644155, 0.004810016748951,...
-0.01539978947815, 0.01293443155674, -0.00115476496081,-0.009829941024313,...
0.01192171509396,-0.004776969477893,-0.004996261645046, 0.009711662701064,...
-0.006501434008723, -0.00116986290666, 0.006941679082687, -0.00672145288472,...
0.001465437032989, 0.004207636166295,-0.005977896766947, 0.003045028934091,...
0.001744981182385,-0.004524249512869, 0.003475646276925,9.893335945349e-05,...
-0.003178880019962, 0.003551168105363,-0.001368748034394,-0.001307649173739,...
0.002332983510346,-0.001096962526785,-0.001242291159412, 0.002880772243978,...
-0.002796136591917, 0.001360371198876,0.0001746575876459,-0.002876661682599];
y = conv(x,h);
player = audioplayer(x,fs); play(player);
figure(1);
subplot(211);
stem(x);
title('輸入信號波形')
subplot(212);
stem(y);
title('輸出信號波形');
audiowrite('D:\snow_p_8-9.5-40db.wav',sig_fil,fs)
實現了高頻噪聲的濾除。
- IIR濾波器的實現：
clc
clear all
b=[6.579117719418e-06,0.0002434273556185, 0.004381692401132, 0.05111974467987, 0.4345178297789, 2.867817676541, 15.29502760822, 67.73512226497, 254.0067084936, 818.4660607017, 2291.704969965, 5625.094017186, 12187.7037039, 23437.89173828, 40179.2429799, 61608.17256918, 84711.23728263, 104643.2931138, 116270.325682, 116270.325682, 104643.2931138, 84711.23728263, 61608.17256918, 40179.2429799, 23437.89173828, 12187.7037039, 5625.094017186, 2291.704969965, 818.4660607017, 254.0067084936, 67.73512226497, 15.29502760822, 2.867817676541, 0.4345178297789, 0.05111974467987, 0.004381692401132, 0.0002434273556185,6.579117719418e-06];
a=[ 1, 14.37828690288, 104.1648243034, 504.3023653466, 1827.892164546, 5272.314238219, 12567.18329297, 25391.78098446, 44280.3431479, 67543.21293644, 91031.31413503, 109248.4585498, 117456.9286029, 113663.3624288, 99360.42815769, 78676.34547238, 56541.90742152, 36928.41699943, 21934.12069346, 11849.69282271, 5820.210601159, 2596.511270863, 1050.471970027, 384.5676182832, 127.0294630969, 37.7210460062, 10.02321645795, 2.369609300119, 0.4948536588095, 0.09046795256738, 0.01431382878011, 0.001931131342549, 0.0002178076530115,1.998237004796e-05,1.432599897946e-06,7.529722850038e-08, 2.580713328819e-09,4.328478996595e-11];
[x,Fs]=audioread('D:\Program\新建文件夾 (10)\音頻\Carmen_overture_noisy_8k_9.5k.wav');
figure;
plot(x);
y=filter(b,a,x);
figure;
plot(y);
audiowrite('Afterfilter0dB_direct.wav',y,Fs)
本章習題
- \(j^{2n}\)的周期為2，因為\(j=e^{\frac{j\pi}{2}}\),帶入得\(j^{2n}=e^{jn\pi}\)，所以\(\omega=\pi\)，\(T=2\)。
- 判斷系統的特性：
(1)為穩定，因果，線性，時變，無記憶系統。
(2)為非穩定（找一個反例即可），因果，線性，時不變，有記憶系統。
(3)為穩定（逐項穩定，項數有界），非因果，線性，時不變，有記憶系統。
(4)為穩定，非因果（抽取器)，線性，時變，有記憶系統。
(5)\(T[x[n]]=x[n]+3u[n+1]\)為因果穩定系統，不要看到\(u[n+1]\)就以為是非因果。看是否為非因果關鍵是看輸入是否超前於輸出。（看\(x[n]\)內的宗量)
(6)本題中的C選項錯在因果。
對於這種有兩個y[n]的，y[n]沒有n次方則為線性的；y[n]的系數不帶n的就是時不變的。
這種系統未必是非因果：之后學Z變換時是看收斂域。
求系統響應：
已知\(u(n)\)的響應為\(s(n)\)，則\(δ(n)=u(n)-u(n-1)\)的響應為\(s(n)-s(n-1)\)。
求卷積：
利用圖解法求解：將\(u(n)\)關於\(y\)軸翻轉，然后整體加上\(n\)(向右移動\(n\))，對位相乘即為卷積的結果，當\(n<0\)時，左移，無交叉，對位皆為\(0\)，因此為\(0\)，當\(n>0\)且在不同段的時候，結果見上。
