序列的z變換
z變換的定義
z變換的定義如下
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} \]
其中\(z=e^{j\omega}\),是一個復數.
在復平面上,\(z\)相當於單位圓上的一點.
典型序列的z變換
單位脈沖序列的z變換
求序列\(\delta(n)\)的z變換
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(n)z^{- n}\\=\delta(0)z^{0}\\=1,0<|z|<\infty \]
最后的一句話是收斂域
階越序列的z變換
求序列\(u(n)\)的z變換
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}u(n)z^{-n}\\=\sum_{n=0}^{n=\infty}z^{-n} \\=\frac{1}{1-z^{-1}}, |z|>1 \]
矩形序列的z變換
求序列\(R_4(n)\)的z變換
\[X(n)=\sum_{n=\infty}^{\infty}R_4(n)z^{-n} \\=\sum_{n=0}^{3}z^{-n} \\=1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3} \\=\frac{1 -z^{-4}}{1-z^{-1}}, 0<|z|<\infty \]
收斂域
| 序列類型 | 收斂域 |
|---|---|
| 有限長序列 | $0< |
| 右邊序列 | $ |
| 左邊序列 | $ |
| 雙邊序列 | $R_{x-}< |
z變換的性質
線性
\[設x_1(n)的z變換是X_1(z) \\x_2(n)的z變換是X_2(z) \\如果x_3(n)=ax_1(n)+bx_2(n) \\那么X_3(z)=aX_1(z)+bX_2(z) \\X_3(z)的收斂域為X_1(z)的收斂域和X_2(z)的收斂域的交集 \]
移位性質
雙邊序列
\[x(n)為雙邊序列時 \\設x(n)的z變換是X(z) \\則x(n+n_0)的z變換是z^{n_0}X(z) \\序列移位不會改變z變換的收斂域 \]
右邊序列右移公式
\[x(n)為右邊序列 \\設x(n)的z變換是X(z) \\x(n-1)的z變換是z^{-1}X(z)+x(-1) \\x(n-2)的z變換是z^{-2}X(z)+z^{-1}x(-1)+x(-2) \\如此類推 \]
右邊序列左移公式
\[x(n)為右邊序列 \\設x(n)的z變換是X(z) \\x(n+1)的z變換是z^1X(z)-x(1) \\x(n+2)的z變換是z^2X(z)-z^1x(1)-x(2) 如此類推 \]
序列乘實指數序列
\[設x(n)的z變換是X(z) \\y(n)=a^nx(n)的z變換Y(z)=X(a^{-1}z) \]
復共軛序列的z變換
\[設x(n)的z變換是X(z) \\則x^*(n)的z變換是X^*(z^*) \]
初值定理
\[設x(n)的z變換是X(z) \\則x(0)=\lim_{z->\infty}X(z) \]
終值定理
\[設x(n)的z變換是X(z) \\則x(\infty)=\lim_{z->1}(z-1)X(z) \]
帕斯維爾定理(能量定理)
時域總能量等於z域總能量(能量守恆)
\[E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega \]