Z變換
Z變換的定義與收斂域
Z變換定義
由DTFT的分析式
將其中的\(e^{-jωn}\)換成\(r^{-n}e^{-jωn}\)，令\(z=re^{jω}\)，即可得到Z變換的定義式
其中\(z=re^{jω}\)，當\(r＝1\)時（即\(z=e^{jω}\)）為DTFT的分析式。
其反變換為（由圓周積分可以得到）
Z變換的收斂域
使級數收斂的所有z值的集合，稱為收斂域。
若\(x[n]r^{-n}\)絕對可和，則X(z)收斂，原因如下
由於定義式中n是從負無窮到正無窮，因此n小於等於-1和n大於等於0需要分別考慮。
將上述不等式寫成如下式子
-
對於n從0到正無窮的部分，若存在Rx-使之小於無窮，則收斂域為|z| > Rx-，即當r越大，則后面的指數部分越小，則越有可能收斂。即當z只有負冪次項時，ROC是以原點為圓心的圓外。
-
對於n從負無窮到-1的部分，若存在Rx+使之小於無窮，則收斂域為|z| < Rx+，即當r越小，則后面的指數部分越小，則越有可能收斂。即當z只正冪次項時，ROC是以原點為圓心的圓內。
當負冪次項和正冪次項都存在時，考慮兩者的交集，無交集ROC不存在；有交集ROC為圓環。
對於有限長序列，只要當\(|x[n]|<∞\)時，有\(|z^{-n}|<∞\)，即可保證每項\(|x[n]z^{-n}|<∞\)，則X(z)收斂。
而整個定義域內當且僅當z=∞或0時，才有可能出現\(|z^{-n}|=∞\)，因此ROC必包括\(0<|z|<∞\)，只需討論z=0和∞時的情況即可。對於有限長序列，ROC討論如下
-
當n<0時，Z只有正冪項，所以ROC為\(0≤|z|<∞\)。
-
當n≥0時，Z只有負冪項，所以ROC為\(0<|z|≤∞\)。
-
當n同時有正負時，ROC為\(0<|z|<∞\)。
總結：
對於左邊序列（當同時含有小於0至負無窮的部分與有限長的正冪次項時），ROC為\(0<|z|<Rx+\)。
Z變換的性質與定理
線性性質
“包含”，線性性質可能出現零極點相消，導致收斂域擴大。
例如\(x[n]=u[n]-u[n-3]\)，u[n]的z變換為\(\frac{z}{z-1}\)，\(u[-3]\)的z變換為\(\frac{z^{-3}}{1-z^{-1}}\)，化簡后得x[n]的z變換為\(z^{-2}+z^{-1}+1\)；發現極點1消失了。
時域移位性質
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當nd＞0時，相當於加上了nd重的z=0的極點，即加上nd重的z=∞的零點，即去除了nd重z=∞的極點。
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當nd＜0時，相當於加上了nd重的z=∞的極點，即加上nd重的z=0的零點，即去除了nd重z=0的極點。
指數序列相乘性質
例如求\(x[n]=r^ncos(ω_0n)u[n]\)的Z變換
微分性質
可用來求非有理函數的Z反變換，例如
共軛性質
時間倒置共軛性質
卷積性質
可能出現零極點相消擴大收斂域。
初值定理
總結：
Z的反變換
圍線積分法（有理無理Z變換皆可）
例題：
觀察法（有理Z變換）
記住常用的Z變換，例如
求Z反變換時，注意標出ROC。
部分分式分解法（有理Z變換）
- 對於多重極點，需要求導求出系數。
- 對於假分式，需要用長除法分離出真分式。
- 對於不同的ROC，注意反變換是左邊序列還是右邊序列。
冪級數展開法（有理Z變換）
將X[z]展開z的各項次冪的和（一般使用長除法：左邊序列展開成正冪次項，分母按升冪排列；右邊序列，負冪次項，分母按降冪排列），前面的系數為對應的x[n]，例如
ROC為\(0<|z|<∞\)。
此外，冪級數展開法可以用來求超越函數的Z的反變換，用泰勒（或者洛朗）展開，例如
常用函數的taylor展開
實驗2 系統函數零極點圖
coef_a=[3,-7,5];
coef_b=[1,-2.5,1];
figure(1);
zplane(coef_a,coef_b);
本章習題
- 求以下序列的Z變換及其收斂域
(1)利用定義和等比級數求和公式算，由於是左邊序列，收斂域在圓內。
(2)關注一下單位沖激序列的ROC包含0和∞。
(3)關注以下ROC為使公比的絕對值小於1的|z|的范圍。
(4)對於用定義展開后，並非指數的形式，可以用求導消除非指數形式的部分，再求積分即可。
(5)注意兩序列之間相差一個δ(n-1)。
- 通過求出在對應ROC下的原序列，用定義求其傅里葉變換，（對於無限長序列）若能滿足公比的絕對值小於1，即可證明傅里葉變換存在。
- Z變換的初值定理對應的序列必須是因果序列。
- 利用DFS定義式，分別帶入N=N和N=3N
\[\tilde{X}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{N}}\tilde{x}[n] \]\[\tilde{X_3}[k]=\sum_{n=0}^{3N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n]+\sum_{n=N}^{2N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n]+\sum_{n=2N}^{3N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n] \]\[\tilde{X}[\frac{k}{3}]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n] \]只要能保證冪指數的周期的整數倍為N，即可證明
\[\tilde{X_3}[k]=3\tilde{X}[\frac{k}{3}] \]冪指數的周期為\(\frac{3N}{k}\)，因此當k為3的整數倍時，冪指數周期的3k倍為N，得證。
\[k=3m，m=0，±1，… \]
