數字信號處理(DSP)個人學習總結(二)——離散時間傅里葉變換(DTFT)

離散時間傅里葉變換

DTFT的定義和存在條件

定義

正交性和周期性

\[\begin{array}{l} \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega m} \mathrm{~d} \omega=\left\{\begin{array}{cc} 1, & m=n \\ 0, & m \neq n \end{array}=\delta[m-n]\right. \\ \frac{1}{2 \pi} \int_{\omega_{0}-\pi}^{\omega_{0}+\pi} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega m} \mathrm{~d} \omega=\left\{\begin{array}{cc} 1, & m=n \\ 0, & m \neq n \end{array}=\delta[m-n]\right. \end{array} \]

存在條件

DTFT存在，即\(X(e^{jw})\)可明確唯一表示。

1. 一致收斂：（序列絕對可和是DTFT存在的充分條件）

2. 均方收斂：（序列平方可和是DTFT存在的充分條件）

3. 沖激表示：

本節習題

1. 如果離散時間序列的DTFT存在，即該離散時間序列可由一個2π區間的無窮個不同頻率的離散復指數序列加權表示。
2. 離散時間序列的DTFT是周期的。

DTFT的性質

線性性質

時域移位性質

幅頻不變，相頻線性變換。

頻域移位性質

時間倒置性質

時間倒置，DTFT幅度和相位倒置。

頻域微分性質

對X(e^{jω})的ω求導數即可證明。

時域卷積定理

時域卷積等於頻域乘積。

時域卷積定理的證明過程：

證明關鍵：交換求和次序。

帕塞瓦爾定理

可用時域或頻域求出序列能量。

帕塞瓦爾定理的證明過程：

證明關鍵：交換求和次序

頻域卷積定理

時域相乘等於頻域卷積。

頻域卷積定理的證明過程：

利用IDTFT的性質，並用帶入法證明y[n]=x[n]*w[n]。

性質總結

補充：

本節習題

1. DTFT卷積定理說明：LTI系統的輸出可由頻域相乘實現。(並不是“任何系統”)

2. 已知y(n)為因果實數序列，\(Y_o(e^{j\omega})=j3sin\omega+jsin3\omega\)，\(Y(e^{j\omega})|_{\omega = \pi}=3\)，求y(n)。

   

   

DTFT的對稱性

利用對稱性的序列表示

任何序列均可表示為共軛對稱序列、共軛反對稱序列之和。

對稱性的性質

1. 前兩條性質：共軛序列與共軛倒置序列的DTFT

• 對於第二行式子：\(X^*(e^{-jω})\)對於\(X(e^{jω})\)而言，對於實部是左右倒置，對於虛部是左右倒置並且加上下倒置。即實部倒置，虛部奇倒置。

• 對於第三行式子：實部相同，虛部取反。

2. 其余的性質：

• 序列的實部的DTFT是原序列DTFT的共軛對稱[\(X_e(e^{jω}\))表示\((e^{jω})\)的共軛對稱：(1/2)(原式＋原式共軛且自變量取反)]

  \(X_e(e^{jω})\)對於\(X(e^{jω})\)而言，實部偶對稱，虛部奇對稱。幅頻偶對稱，相頻奇對稱 。

• 序列的虛部乘上j的DTFT是原序列DTFT的共軛反對稱。

  實部奇對稱，虛部偶對稱。幅頻偶對稱，相頻奇對稱。

  

• 序列的DTFT的實部對應原序列的共軛對稱序列。

• 序列的DTFT的虛部乘上j對應原序列的共軛反對稱序列。

總結：共軛對稱對應實部，共軛反對稱對應虛部。

本章習題

1. 設\(X(e^{jω})\)是x[n]的傅里葉變換，試用\(X(e^{jω})\)表示以下序列的傅里葉變換：

(1)\(x[2n]\)

解題關鍵：利用DTFT定義式代入之后，利用

\[\frac{1}{2}[x(n)+(-1)^nx(n))] \]

表示x(n)序列只取n為偶數的部分。

然后由(-1)^n=e，利用線性性質，替換原序列DTFT內的不同的ω即可。

存疑：對應時域是采樣率降低到原1/2，頻域是每周期內的寬度擴展為2倍，幅值縮小為原1/2。

(2)\(x[\frac n2]\)，n為偶數

帶入定義式即可，關鍵是利用DTFT的定義式

\[X\left(e^{j \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) \mathrm{e}^{-j \omega n} \]

來對比前后ω的變化來將序列和轉換為DTFT的形式。

本題結果為\(X(e^{j2ω})\)。

存疑：對應時域是采樣率為原來的2倍，在原序列的中間插入0，頻域是寬度壓縮為原來的1/2。

(3)\(2^nu[-n]\)

帶入定義式，用等比級數求和算即可。

(4)\(n(\frac{1}{2})^{|n|}\)

利用時域微分性質

只需先算出n之外的x[n]部分的DTFT，然后乘j並求導即可。

2. 序列及其DTFT與共軛分量的關系：

其中x_e[n]為共軛偶對稱分量，x_o[n]為共軛奇對稱分量。

利用因果性的定義，與時序列的性質（可以去掉共軛符號）

分類討論（n與0的不同大小關系），可以得出x[n]由x_e[n]或x_o[n]表示的表達式。

其中，實因果序列的x[n]借用\(x_e[n]\)或\(x_o[n]\)的兩種表達式要熟記。

利用DTFT的性質，可以知道\(H(e^{jω})\)的實部對應的原序列為\(h_e[n]\)，因此可以通過DTFT的定義式求出原序列的\(h_e[n]\)序列，利用上一題得到的實因果序列的共軛偶對稱分量與原序列的關系可以求出原序列，再對原序列進行DTFT即可求出\(H(e^{jω})\)。

3. 任意偶序列的DTFT為實數(×)

存疑：可能錯在了並非所有的偶序列都有DTFT

4. 以下判斷為正確。

5. x[n]為實序列，偶對稱，則\(X(e^{jω})\)為偶對稱。