DFT定義
離散傅里葉變換的公式如下
\[X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \]
其中\(W_n\)是單位根,定義如下
\[W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}} \]
逆變換如下
\[x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-nk} \]
性質
線性
如果有\(x_1(n)\)和\(x_2(n)\)兩個有限長序列,長度分別為\(N_1\)和\(N_2\),且
\[y(n)=ax_1(n)+bx_2(n),(a,b為常數) \]
取變換區間長度\(N=[N_1,N_2]max\)
\[X_1(k)=DFT[x_1(n)]_N;X_2(k)=DFT[x_2(n)]_N \]
則\(y(n)\)的\(N\)點DFT為
\[Y(k)=DFT[y(n)]_N=aX_1(k)+bX_2(k) \]
循環移位性質
設\(x(n)\)為有限長序列,長度為\(M\),則\(x(n)\)的循環移位定義為
\[y(n)=x((n+m))_NR_N(n) \]
如果一個序列移位之后,一些樣值被移到了起始點前面,那他實際上會在后面再補回來,實際的順序並沒有變.
頻域循環移位定理
如果\(X(k)=DFT[x(n)]_N\)
\(Y(k)=X((k+l))_NR_N(k)\)
則\(y(n)=IDFT[Y(k)]_N=W_N^{nl}x(n)\)
循環卷積定理
如果x_1(n)和x_2(n)是兩個有限長序列,長度分別為\(M_1\)和\(M_2\),且取循環卷積區間長度\(L\geq max[M_1,M_2]\)
\(X_1(k)\)是\(x_1(n)\)的\(L\)點DFT
\(X_2(k)\)是\(x_2(n)\)的\(L\)點DFT
如果\(y(n)=x_1(n)*x_2(n)=[\sum_{m=0}^{L-1}x_1(m)x_2((n-m))_L]R_L(n)\),
那么他的的DFT為\(Y(k)=X_1(k)X_2(k)\)