離散傅里葉級數
DFS定義
正交性
周期性
\[\tilde{X}[r N+k]=\tilde{X}[k] \]
兩性質結合的表達式：
\[\frac{1}{N} \sum_{\mathrm{n}=0}^{N-1} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \frac{2 \pi k n}{N}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \frac{-2 \pi / n}{N}}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & k-l=r N \\ 0 & k-l \neq r N \end{array}=\delta[k-l-r N]\right. \]
時域離散對應頻域周期；時域周期對應頻域離散。
計算技巧
-
對於\(1-e^{-j\pi k}\) ，可以提取出e的指數的一半，用來湊取歐拉公式如下
\[\left(\frac{e^{j \frac{\pi k}{2}}-e^{-j \frac{\pi k}{2}}}{2}\right) e^{-j \frac{\pi k}{2}}=isin(\frac{\pi k}{2})e^{-j\frac{\pi k}{2}} \] -
k所對應的頻率可以用以下公式對應（DTFD的δ(ω)表示方式），得到頻譜函數\(\omega=\frac{2\pi k}{N}\)
DTFT和DFS的關系
周期對應離散，非周期對應連續。
DFS的矩陣表示
即
本節習題
- 離散周期序列可由一個2π區間的有限個不同頻率的離散復指數序列加權表示。
- 所有離散周期序列，都存在DFS。(不必絕對可和)
DFS的性質和定理
線性性質
時域移位性質
幅頻不變，相頻線性變換。
對比DTFT和DFS的相位
DTFT頻域連續，對應微分；DFS頻域離散，對應差分。
頻域移位性質
頻移等效為乘上一個復指數序列。
時間倒置性質
時域倒置對應頻域倒置。
時域周期卷積定理
\[\begin{array}{c} \tilde{y}[n]=\sum_{l=0}^{N-1} \tilde{x}[l] \tilde{h}[n-l]=\tilde{x}[n] \otimes \tilde{h}[n] \\ \tilde{Y}[k]=\tilde{X}[k] \tilde{H}[k] \end{array} \]
時域卷積對應頻域乘積。
時域周期卷積定理
時域乘積對應頻域卷積。
對偶性質
帕塞瓦爾定理
\[\sum_{n=0}^{N-1}|\tilde{x}[n]|^{2}=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}|\tilde{X}[k]|^{2} \]
帕塞瓦爾定理更一般的形式如下：
\[\sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}[n] \tilde{y}^{*}[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}[k] \tilde{Y}^{*}[k] \]
本節習題
- 存疑：DFS卷積定理說明：LTI系統的輸出可由頻域相乘實現。(×)
DFS的對稱性
一般序列的表示
- 任何序列可以表示為實部和虛部之和。
- 任何序列可以表示為共軛對稱序列和共軛反對稱序列之和。
- 共軛對稱序列：實部偶對稱，虛部奇對稱。
- 共軛反對稱序列：實部奇對稱，虛部偶對稱。
- 總結：
性質
- 實部倒置，虛部奇倒置；幅頻倒置，相頻奇倒置。
- 實部相同，虛部取反；幅頻相同，相頻取反。
- 序列的實部的DFS是原序列DFS的共軛對稱，實部偶對稱，虛部奇對稱。幅度偶對稱，相位奇對稱。
- 序列的虛部乘以j的DFS是原序列DFS的共軛反對稱，實部奇對稱，虛部偶對稱。幅度偶對稱，相位奇對稱。
- 共軛對稱序列的DFS是原序列DFS的實部。
- 共軛反對稱序列的DFS是原序列DFS的虛部乘以j。
總結：共軛對稱對應實部，共軛反對稱對應j乘以虛部
本章習題
利用DFS的共軛對稱性來判斷：
- 錯誤。應為必須滿足x[n]=x*[-n]。
- 正確。
