一個周期為N的周期序列，即
k為任意整數，N為周期
周期序列不能進行Z變換，因為其在 n=-
到+
都周而復始永不衰減，即 z 平面上沒有收斂域。但是，正象連續時間周期信號可用傅氏級數表達，周期序列也可用離散的傅里葉級數來表示，也即用周期為N的正弦序列以及其諧波來表示。
周期為N的正弦序列其基頻成分為：
K次諧波序列為：
但離散級數所有諧波成分中只有N個是獨立的，這是與連續傅里葉級數的不同之處，即：
因此：
將周期序列展成離散傅里葉級數時，只需取 k=0 到(N-1) 這N個獨立的諧波分量，所以一個周期序列的離散傅里葉級數只需包含這N個復指數：
利用正弦序列的周期性可求解系數
將上式兩邊乘以
,並對一個周期求和：
上式中[ ]部分顯然只有當k=r時才有值為1,其他任意k值時均為零，所以有：
或寫為
1) 可求 N 次諧波的系數
2）也是一個由 N 個獨立諧波分量組成的傅里葉級數
3）為周期序列，周期為N。
時域上周期序列的離散傅里葉級數在頻域上仍是一個周期序列。
是一個周期序列的離散傅里葉級數(DFS)變換對，這種對稱關系可表為:
習慣上記作：
則DFS變換對可寫為
DFS[·] ——離散傅里葉級數變換
IDFS[·]——離散傅里葉級數反變換。
DFS變換對公式表明，一個周期序列雖然是無窮長序列，但是只要知道它一個周期的內容（一個周期內信號的變化情況），其它的內容也就都知道了，所以這種無窮長序列實際上只有N個序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長序列有着本質的聯系。
摘自---超星網課吳鎮楊數字信號處理http://mooc1.chaoxing.com/nodedetailcontroller/visitnodedetail?courseId=1919103&knowledgeId=1919545