傅里葉級數的推導

周期函數是客觀世界中周期運動的數學表述，大多可以表示為：
     

然而許多周期信號並非正弦函數那么簡單，傅里葉猜想用一系列的三角函數之和來表示那個較復雜的周期函數f(t)，於是就有以下式子：
     

首先先對該式子進行三角函數變形：
     

再把常數項給簡化：
     

很明顯，我們只需要解出A0，an，bn的值就可以了。
關於三角函數的正交性，有以下式子：
     

注意:第4，5個式子中的k與n不相等，第3個式子的k與n可以相同。后三個式子還可以寫成以下形式:
     

當k不等於n時，有：
     

其他式子也可由上面方式同理可以證出。
先把傅里葉級數寫成剛才那個式子，並對其從-Π到Π進行積分，可得：
     

目前我們就把A0求出來了
再利用之前那個式子，在他兩邊同時乘上cos(kwt)，**就可以將an求出來**：
     

同理，兩邊同時乘上sin(kwt),就可以將bn求出了:
     

因為A0分母為2Π，而an，bn為Π，我們令a0=2A0，就有：
     

變形為：
     

書上的推導的時候假設的T=2Π，代入就得到的以下式子，不影響，隨T不同而不同：