廢話不多說先列提綱：
0.概述-需求分析-功能描述-受限和缺點改進+知識點預備
1.泰勒級數和傅里葉級數的本質區別，泰勒展開
2. 函數投影和向量正交
3.兩個不變函數求導是本身e^x,sinx,cosx也是為什么要傅里葉轉換的原因！
4.傅里葉技術推到過程
5.附錄參考資料
0.有些時候，尤其是在圖像處理中，矩陣運算數據量太大，特征提取量多，此時可以通過時域轉頻域來減少計算量，而且此轉換不會損失數據完整性。
時域轉頻域的方法有周期函數用傅里葉技術，非周期函數（沒有間斷點的函數）用傅里葉轉換，類似於直方圖的分析。
兩角和公式
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
積化和差
sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2
cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
二倍角公式
正弦
sin2A=2sinA·cosA
余弦
1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)
2.Cos2a=1-2Sin^2(a)
3.Cos2a=2Cos^2(a)-1
即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)
正切
tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）
平方關系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
平常針對不同條件的常用的兩個公式
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan α *cot α=1
（1）.
泰勒級數是求導函數組成的變化特征函數和；反應變化劇烈程度
傅里葉級數是頻譜疊加的三角函數和；反應變化頻率本質屬性
（2）.
從幾何的角度來看。傅里葉告訴我們，f(x) 可以用下面這組由無限多個三角函數（包括常數）組成的“正交基”來展開，
傅里葉級數展開其實只是在做一個動作，那就是把函數“投影”到一系列由三角函數構成的“坐標軸”上。
（3）.
正弦和余弦是二階偏微分方程（含有電容等 元件的方程），而電容是可以隔直流通交流的
（4）.
首先，隆重推出傅里葉級數的公式，不過這個東西屬於“文物”級別的，誕生於19世紀初，因為傅里葉他老人家生於1768年，死於1830年。
但傅里葉級數在數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有着廣泛的應用，這不由得讓人肅然起敬。一打開《信號與系統》、《鎖相環原理》等書籍，動不動就跳出一個“傅里葉級數”或“傅里葉變換”，弄一長串公式，讓人雲山霧罩。
如下就是傅里葉級數的公式：
不客氣地說，這個公式可以說是像“臭婆娘的裹腳布——又臭又長”，而且來歷相當蹊蹺，不知那個傅里葉什么時候靈光乍現，把一個周期函數f(t)硬生生地寫成這么一大堆東西。單看那個①式，就是把周期函數f(t)描述成一個常數系數a0、及1倍ω的sin和cos函數、2倍ω的sin和cos函數等、到n倍ω的sin和cos函數等一系列式子的和，且每項都有不同的系數，即An和Bn，至於這些系數，需要用積分來解得，即②③④式，不過為了積分方便，積分區間一般設為[-π, π]，也相當一個周期T的寬度。
能否從數學的角度推導出此公式，以使傅里葉級數來得明白些，讓我等能了解它的前世今生呢？下面來詳細解釋一下此公式的得出過程：
１、把一個周期函數表示成三角級數：
首先，周期函數是客觀世界中周期運動的數學表述，如物體掛在彈簧上作簡諧振動、單擺振動、無線電電子振盪器的電子振盪等，大多可以表述為：
f(x)=A sin(ωt+ψ)
這里t表示時間，A表示振幅，ω為角頻率，ψ為初相（與考察時設置原點位置有關）。
然而，世界上許多周期信號並非正弦函數那么簡單，如方波、三角波等。傅葉里就想，能否用一系列的三角函數An sin(nωt+ψ)之和來表示那個較復雜的周期函數f(t)呢？因為正弦函數sin可以說是最簡單的周期函數了。於是，傅里葉寫出下式：（關於傅里葉推導純屬猜想）
這里，t是變量，其他都是常數。與上面最簡單的正弦周期函數相比，5式中多了一個n，且n從1到無窮大。這里f(t)是已知函數，也就是需要分解的原周期函數。從公式5來看，傅里葉是想把一個周期函數表示成許多正弦函數的線性疊加，這許許多多的正弦函數有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或說是頻率（是原周期函數的整數倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），當然還有一項常數項（即A0）。要命的是，這個n是從1到無窮大，也就是是一個無窮級數。
應該說，傅里葉是一個天才，想得那么復雜。一般人不太會把一個簡單的周期函數弄成這么一個復雜的表示式。但傅里葉認為，式子右邊一大堆的函數，其實都是最簡單的正弦函數，有利於后續的分析和計算。當然，這個式能否成立，關鍵是級數中的每一項都有一個未知系數，如A0、An等，如果能把這些系數求出來，那么5式就可以成立。當然在5式中，唯一已知的就是原周期函數f(t),那么只需用已知函數f(t)來表達出各項系數，上式就可以成立，也能計算了。
於是乎，傅里葉首先對式5作如下變形：
這樣，公式５就可以寫成如下公式６的形式：
這個公式６就是通常形式的三角級數，接下來的任務就是要把各項系數an和bn及a0用已知函數f(t)來表達出來。
２、三角函數的正交性：
這是為下一步傅里葉級數展開時所用積分的准備知識。一個三角函數系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 如果這一堆函數（包括常數1）中任何兩個不同函數的乘積在區間[-π, π]上的積分等於零，就說三角函數系在區間[-π, π]上正交，即有如下式子：
以上各式在區間[-π, π]的定積分均為0，第１第２式可視為三角函數cos和sin與１相乘的積分；第3-5式則為sin和cos的不同組合相乘的積分式。除了這5個式子外，不可能再有其他的組合了。注意，第4第5兩個式中，k不能等於n，否則就不屬於“三角函數系中任意兩個不同函數”的定義了，變成同一函數的平方了。但第3式中，k與n可以相等，相等時也是二個不同函數。下面通過計算第4式的定積分來驗證其正確性，第4式中二函數相乘可以寫成：
可見在指定[-π, π]的區間里，該式的定積分為0。其他式也可逐一驗證。
３、函數展開成傅里葉級數：
先把傅里葉級數表示為下式，即⑥式：
對⑥式從[-π, π]積分，得：
這就求得了第一個系數a0的表達式，即最上邊傅里葉級數公式里的②式。接下來再求an和bn的表達式。用cos(kωt)乘⑥式的二邊得：
至此，已經求得傅里葉級數中各系數的表達式，只要這些積分都存在，那么⑥式等號右側所表示的傅里葉級數就能用來表達原函數f(t)。上述過程就是整個傅里葉級數的推導過程。事實上，如果能夠寫出⑥式，不難求出各個系數的表達式，關鍵是人們不會想到一個周期函數竟然可以用一些簡單的正弦或余弦函數來表達，且這個表達式是一個無窮級數。這當然就是數學家傅里葉的天才之作了，我等只有拼命理解的份了。
綜上，傅里葉級數的產生過程可以分為以下三步：
1、設想可以把一個周期函數f(t)通過最簡單的一系列正弦函數來表示，即5式；
2、通過變形后用三角級數（含sin和cos）來表示；
3、通過積分，把各未知系數用f(t)的積分式來表達；
4、最后得到的4個表達式就是傅里葉級數公式。
在電子學中，傅里葉級數是一種頻域分析工具，可以理解成一種復雜的周期波分解成直流項、基波（角頻率為ω）和各次諧波（角頻率為nω）的和，也就是級數中的各項。一般，隨着n的增大，各次諧波的能量逐漸衰減，所以一般從級數中取前n項之和就可以很好接近原周期波形。這是傅里葉級數在電子學分析中的重要應用。
當然還有一疑問就是關於周期的取值l和t的不同，有的地方是w=l/2，有的就直接是w=an
：
0.傅里葉就是吧f（x）划分成不同頻率三角函數的和
1.用內積法分解出每一個分量的系數
2.接地氣的計算系數
在高數課本中是如上所求，但在《信號與系統》一書中傅里葉變換一節中直流分量為A/2,但其中對A和B的求解公式是一樣的，這是怎么回事？所求結果肯定是不同的，
（5）.
http://www.360doc.com/content/13/0328/12/202378_274443797.shtml；
http://blog.sina.com.cn/s/blog_57ad1bd20100txgs.html
http://www.360doc.com/content/13/0301/19/202378_268716061.shtml（幾何公式）
http://blog.renren.com/share/343320656/15540620254（投影+正交）
http://www.360doc.com/content/11/0126/14/2355320_89141366.shtml（泰勒公式）
http://www.360doc.com/content/12/0120/16/99504_180542746.shtml（泰勒級數）
http://www.360doc.com/content/13/0205/02/1489589_264295813.shtml#（非正弦周期 的傅里葉級數）