從傅里葉級數到傅里葉變換
寫在開頭的話
感謝B站的一個視頻，讓我有想要寫這篇博客的想法。https://www.bilibili.com/video/BV1Et411R78v
網上的傅里葉變換內容大多分為兩個部分：一類是考研類視頻，這些視頻偏向於解題，講的多是一些解題方法，但是學完之后大多數人只知道套公式，所謂知其然而不知其所以然；另一類是科普視頻，他們一個很嚴重的缺點就是忽略了公式，而在一個較為宏觀的層面上講解知識，這樣固然達到了科普的效果，但對於深入理解傅里葉變換卻略顯不足。
我希望用純粹數學的方法解釋傅里葉變換。
傅里葉級數
通過高數的學習，我們知道任何周期函數都可以表示為無窮多個三角函數的和。假設有一個周期函數\(f_T(x)\)
\[f_T(x) = f(x + T) \]
它的傅里葉級數是
\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1}[a_ncos(nx) + b_nsin(nx)] \]
我們將它轉換成更一般的，關於時間\(t\)的形式
\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1}[a_ncos(n\omega t) + b_nsin(n\omega t)] \]
其中
\[a_n= \frac{1}{T}\int^T_{-T}f(t)cos(n\omega t)dt~~~~~~~~~~~~~~~~(n\in\mathrm{N})\\ b_n= \frac{1}{T}\int^T_{-T}f(t)sin(n\omega t)dt~~~~~~~~~~~~~~~~(n\in\mathrm{N^*}) \]
傅里葉變換
很好，我們已經學會了由一個周期函數\(f(x)\)轉換成傅里葉級數的一般套路，具體推導規則見高等數學（下）。接下來我們來進行一系列一個從傅里葉級數到傅里葉變換的推導。
我們知道歐拉公式和三角函數之間有一個轉化
\[cos(\theta) = \frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) \]
\[sin(\theta) = \frac{1}{2}i(e^{i\theta}-e^{-i\theta}) \]
帶入到上面的傅里葉變換中，我們得到
\[\begin{align*} f(t) &=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1}[a_ncos(n\omega t) + b_nsin(n\omega t)]\\ &= \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1}[a_n\frac{1}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}) + b_n\frac{1}{2}i(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})]\\ &= \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}[\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t} + \frac{a_n + ib_n}{2}e^{-in\omega t}]\\ &= \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t} + \sum^{-\infty}_{n=-1}\frac{a_n + ib_n}{2}e^{in\omega t}\\ &= \sum^{0}_{0}\frac{a_0}{2}e^{in\omega t}+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t} + \sum^{-\infty}_{n=-1}\frac{a_n + ib_n}{2}e^{in\omega t}\\ &=\sum^{\infty}_{-\infty}C_ne^{in\omega t} \end{align*} \]
其中
\[C_n = \begin{cases} \frac{a_0}{2} & \text{if } n = 0,\\ \frac{a_n-ib_n}{2} & \text{if } n = \mathrm{N^*},\\ \frac{a_n+ib_n}{2} & \text{if } n = -\mathrm{N^*}. \end{cases} \]
將\(a_n\)和\(b_n\)展開后，我們得到：
\[C_n = \begin{cases} \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt & \text{if } n = 0,\\ \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)e^{-in\omega t}dt & \text{if } n = \mathrm{N^*},\\ \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)e^{-in\omega t}dt & \text{if } n = -\mathrm{N^*}. \end{cases} \]
這三個\(C_n\)的形式驚人的統一！統一就是一種美啊！注意到當\(n=0\)時，該式子的情況依然跟其它兩種情況一樣。那么我們直接就可以把\(C_n\)寫成一個式子
\[C_n = \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)e^{-in\omega t}dt~~~~~~~~~~~~~~~~~~(n\in\mathbb{Z}) \]
這什么啊！\(C_n\)中有\(f(t)\),\(f(t)\)中又蘊含着\(C_n\)，這種事很奇怪不是嗎？原來一個周期函數里面有那么大的學問！等等，說到底它也僅僅被局限在一個周期函數中，能不能，能不能讓它脫離周期函數的束縛。
我們令\(t \to \infty\)，此時一個周期函數就變成了一個周期為無窮的函數，此時它就已經不再是周期函數了，我們注意到一些東西發生了變化。
\[\begin{align*} f(t) &= \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}C_ne^{i\omega t}dt\\ &= \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-in\omega t}dt~e^{i\omega t}dt \end{align*} \]
這時候我們等式兩邊消去f(t)
這時候我們令內層的積分為
\[F(\omega) = \int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-in\omega t}dt \]
這就是最后的傅里葉變換公式了。
總結
\[f(t) = \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(\omega) ~e^{-i\omega t}dt \\ F(\omega) = \int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-in\omega t}dt \]
