傅里葉級數、變換和積分、$\delta$函數階躍函數傅里葉變換等在固體理論中的應用

1.高等數學筆記中的傅里葉級數：學傅里葉級數見國防科大高等數學課
2.傅里葉級數、傅里葉變換
3.華中師范數理方法書中的證明：（其實和我前面證明（G.12)的過程一樣）
4.傅里葉變換的兩種形式（其實是等價的，只是不同的教材不同）、 $\delta$函數的傅里葉變換：
$\delta$函數傅里葉變換的離散版本1：
$\delta$函數傅里葉變換的離散版本2：
a.在大極限下有：
b.在大極限下有：
c.在變為無窮大的極限下，
d.對（A.9a），若 $\mathbf{k}$和 ${\mathbf{k}}^{\prime }$限制在一個布里淵區內，此時 $\mathbf{k}$和 ${\mathbf{k}}^{\prime }$不可能相差一個倒格矢，則只有零倒格矢有貢獻，則有：
e.對（A.7）取 $\mathbf{k}$連續的極限，有：
5.固體物理中的傅里葉變換（其實用的是傅里葉級數表達式（G.9），不是數學中的傅里葉變換的公式）：
6.離散格子的傅里葉變換和反傅里葉變換
7.李正中書：傅里葉級數（重要）
8.階躍函數的傅里葉變換、逆變換：
9.多體物理中格林函數的傅里葉變換
10.凝膠模型中電子-電子相互作用勢的傅里葉級數展開
11.傅里葉變換的實際含義（物理含義）：
12.離散傅里葉變換(DFT)與快速傅里葉變換(FFT)
13.數學物理方法筆記本中傅里葉變換：

TOC

1.高等數學筆記中的傅里葉級數：學傅里葉級數見國防科大高等數學課

2.傅里葉級數、傅里葉變換

傅里葉級數表達式的證明見國防科大高等數學課
南京大學電動力學書：傅里葉級數和積分、特殊函數等見南京大學電動力學書，寫得好。

（1）情況對應的是：f（x）的周期為 $2\pi$。（2）對應的是：f(x)的周期為 $2l$。（3）中的（G.7）對應的是：f（x）的周期為 $2\pi$；重要：（G.9）對應的是：f（x）的周期為 $2l$，或者 $f(x)$是定義在有限區間中的一個函數（重要！！！原因是可以周期延拓，見“9.凝膠模型中電子-電子相互作用勢的傅里葉級數展開”）;（G.12)對應的是非周期函數.


（沒錯誤，但還是以華中師范書公式為准）

（從（G.4）能得到f(x)的展開）

• （G.12）和（G.13）與數學物理方法筆記本上記的傅里葉變換不同。但都是對的，只是差一個系數1/(2pi），其實系數沒關系，這些公式都是對的，因為可以在（G.12）、（G.13)中令 $F(k)=\frac{1}{2\pi }\tilde{f}(k)$就得到和華中師范書傅里葉變換相同的表達式。我發現華中師范量子力學書中傅里葉變換表達式和數學物理方法筆記本記的傅里葉變換表達式相同，所以我覺得還是以華中師范量子力學和數理方法筆記本中的傅里葉變換表達式為准。
• 華中師范書傅里葉變換公式：
  （G.12)
• 若 $f(x)$是實函數，則傅里葉系數 $\tilde{f}(k)$一般為復函數！！！
  1實函數傅里葉變換的性質
  
  1.1實函數傅里葉變換的性質
  
  所以，實函數x(t)的傅里葉變換X(w)的共軛 X*(w)=X(-w)
  1.2實偶函數傅里葉變換的性質
  
  1.3實奇函數傅里葉變換的性質
  

  傅里葉變換的一些其他性質見數理方法筆記本和https://blog.csdn.net/lijil168/article/details/102812091（以上實函數傅里葉變換的性質也是參考這個博客）

• (G.9)傅里葉級數的e冪級數公式非常重要，固體物理中晶格勢按倒格矢展開，萬尼爾函數的表達式都是用了（G.9）得到的。

公式證明：


根據https://www.matongxue.com/madocs/712/（不過這個網頁的最后
這里講得太簡略，其他寫得還好）中的非周期函數一節：非周期函數，比如下面這個函數可以寫出傅立葉級數嗎？

這並非一個周期函數，沒有辦法寫出傅立葉級數。
不過可以變換一下思維，如果剛才的方波的周期：
那么就得到了這個函數：在這樣的思路下，就可以使用三角級數來逼近這個函數：。


傅里葉變換公式（G.12)證明過程中求和化為積分的方法稱為乘 $\mathrm{\Delta }{k}_n$再除 $\mathrm{\Delta }{k}_n$法.

3.華中師范數理方法書中的證明：（其實和我前面證明（G.12)的過程一樣）

4.傅里葉變換的兩種形式（其實是等價的，只是不同的教材不同）、 $\delta$函數的傅里葉變換：

一維： $\delta (x-x^{\mathrm{\prime }})=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{ik(x-x^{\mathrm{\prime }})}dk$，也即 $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{ik(x-x^{\mathrm{\prime }})}dk=\delta (x-x^{\mathrm{\prime }})$
三維： ${\delta }^3(\stackrel{\to }{r}-{\stackrel{\to }{r}}^{\mathrm{\prime }})=\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\stackrel{\to }{k}\cdot (\stackrel{\to }{r}-\stackrel{\to }{r})}{d}^3\stackrel{\to }{k}$

$\delta$函數傅里葉變換的離散版本1：

(此正交歸一條件是克羅內克函數，而此完備性條件其實也是 $\delta$函數的傅里葉展開，相當於對 $\delta$函數周期延拓，再利用李正中書（1.5.1）進行傅里葉級數展開，見李書等離激元（4.2.3））

這里k、 $p_x$是離散的：（因為箱歸一化）

（這是根據曾書量子力學卷一中箱歸一化一節知道可以這樣證明）

$\delta$函數傅里葉變換的離散版本2：

5個公式：

a.在大極限下有：

其中，即x方向的原胞數乘y方向的原胞數再乘z方向的原胞數（callaway中文書359頁說了，取奇數只是為了數學方便）；
${\mathbf{K}}_s$是倒格矢（s是任意整數，s就是指定某一個倒格矢，沒有其他含義）；
(A.4）中第二行成立的前提條件為： $\mathbf{k}$和 ${\mathbf{k}}^{\prime }$的取值為：

：對晶體中所有正格矢求和的含義為：

b.在大極限下有：

：對第一布里淵區求和的含義為：

c.在變為無窮大的極限下，

（這是對晶體中所有正格矢求和）

其中對 ${\mathbf{K}}_l$的求和包括左右倒格矢， $\mathrm{\Omega }$是原胞體積。

$\delta$函數的值就是無窮和0，所以前面的系數無所謂

d.對（A.9a），若 $\mathbf{k}$和 ${\mathbf{k}}^{\prime }$限制在一個布里淵區內，此時 $\mathbf{k}$和 ${\mathbf{k}}^{\prime }$不可能相差一個倒格矢，則只有零倒格矢有貢獻，則有：

（左邊是對晶體中所有正格矢求和）

e.對（A.7）取 $\mathbf{k}$連續的極限，有：

證明：callaway書中文版：

注意，此頁中說了，取奇數只是為了數學上方便。

5.固體物理中的傅里葉變換（其實用的是傅里葉級數表達式（G.9），不是數學中的傅里葉變換的公式）：

李正中書寫得最好，見7.。
見固體物理筆記本、固體理論書。以下是白一鳴等，《固體物理學習指導及習題集》中：


其實是用了周期函數的（G.9)傅里葉級數的e冪級數公式來推導（並不是用傅里葉變換）：



這就是引入倒格子基矢、倒空間的依據！
正空間周期函數（比如晶格周期勢）可以按倒格矢傅里葉展開，倒空間周期函數（周期為 $\stackrel{\to }{G_h}$，最小周期為b，這個周期函數可以就是布洛赫波函數！）可以按正格矢傅里葉展開：

倒空間周期函數可以按正格矢傅里葉展開的證明完全類似前面正空間周期函數可以按倒格矢傅里葉展開的證明，都是利用了（G.9)傅里葉級數的e冪級數公式，證明完全類似於：
，故省略。
注意上面倒空間周期函數可以按正格矢傅里葉展開的公式（1）中的系數 $\frac{1}{\sqrt{N}}$是歸一化系數，是為了實現萬尼爾函數的正交性和完備性的公式。
萬尼爾函數：見固體理論第二課 萬尼爾函數.md

6.離散格子的傅里葉變換和反傅里葉變換

離散格子的傅里葉變換和反傅里葉變換 – Ji-Huan Guan 和另外 6 個頁面 - 個人 - Microsoft Edge
其中公式 $|x⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{k}{\sum }{e}^{ikx}|k⟩$、 $|k⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{x}{\sum }{e}^{-ikx}|x⟩$
並沒有錯誤（原因見李正中14頁等，其傅里葉級數的指數上都是可以有±號），只是和我的習慣不同。我習慣的公式為：
（這兩個公式的前提是將正空間的最小周期a取為1）



此博客的網站還有正方格子、六角格子的傅里葉變換等。
SSH模型的筆記中：

7.李正中書：傅里葉級數（重要）

8.階躍函數的傅里葉變換、逆變換：

見第二章 雙時推遲和超前格林函數及其應用.md：
$\theta (t)=-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx\frac{e^{-ixt}}{x+i\eta }(\eta =0^{+})$（10）
逆變換： $\frac{i}{x+i\eta }={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dt\theta (t)e^{ixt}$，也即 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dt\theta (t)e^{ixt}=\frac{i}{x+i\eta }$（11）
其中x為實數， $\eta =0^{+}$.

（10）證明：
數理方法87頁中4.2.3這種類型的積分：

此題即應證明：

從數理方法書78頁：

的（4.1.9）知，

（11）證明：

另：（11）在證明雙時格林函數的萊曼表示時有用。

9.多體物理中格林函數的傅里葉變換

李正中書使用的規則是：

金老師課和nolting書中使用的規則是： $G_{AB}^r(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{G}_{AB}^r(t)e^{i\omega t}dt.$

各種書中的雙時格林函數及格林函數傅里葉變換總結：

10.凝膠模型中電子-電子相互作用勢的傅里葉級數展開

snoke固體物理書689頁說了，傅里葉級數展開不僅可以適用於周期函數，而且適用於在有限區間中的一個函數：

金老師高量講義凝膠模型中，凝膠模型中電子-電子相互作用勢的傅里葉級數展開：
形式1：
$\begin{array}{}\text{(*)}& \frac{1}{r}=\frac{1}{V}\underset{\stackrel{\to }{k}}{\sum }\frac{4\pi }{k^2+{\eta }^2}{e}^{i\stackrel{\to }{k}\cdot \stackrel{\to }{r}}\end{array}$
也即： $\frac{1}{V}\underset{\stackrel{\to }{k}}{\sum }\frac{4\pi }{k^2+{\eta }^2}{e}^{i\stackrel{\to }{k}\cdot \stackrel{\to }{r}}=\frac{1}{r}$
證明：（其實是利用李正中書（1.5.1）來證）

$(\ast )$式的另一個證明方法:一些數理方法書中使用留數定理證明了:
形式2：
$\frac{e^{i\eta r}}{r}=\frac{1}{V}\underset{\stackrel{\to }{k}}{\sum }\frac{4\pi }{k^2+{\eta }^2}{e}^{i\stackrel{\to }{k}\cdot \stackrel{\to }{r}}$(也即 $\frac{1}{V}\underset{\stackrel{\to }{k}}{\sum }\frac{4\pi }{k^2+{\eta }^2}{e}^{i\stackrel{\to }{k}\cdot \stackrel{\to }{r}}=\frac{e^{i\eta r}}{r}$)，故再令 $\eta =0$得: $\frac{1}{r}=\frac{1}{V}\underset{\stackrel{\to }{k}}{\sum }\frac{4\pi }{k^2}{e}^{i\stackrel{\to }{k}\cdot \stackrel{\to }{r}}$

11.傅里葉變換的實際含義（物理含義）：

每一個正弦函數或余弦函數都是一個“模式”， $f(\omega )$是權重：
Briggs這本書中的傅里葉變換是定義為：

以上來源於William L. Briggs, Van Emden Henson - The DFT_ An Owners' Manual for the Discrete Fourier Transform-Society for Industrial Mathematics (1987)書2.2節，這本寫得好，很易懂、清楚

12.離散傅里葉變換(DFT)與快速傅里葉變換(FFT)

離散傅里葉變換與連續傅里葉變換之間的關系：
Briggs這本書2.2節的一個總結：

William L. Briggs, Van Emden Henson - The DFT_ An Owners' Manual for the Discrete Fourier Transform-Society for Industrial Mathematics (1987)書

13.數學物理方法筆記本中傅里葉變換：

此傅里葉變換公式的一個簡單證明見華中師范數理方法書245頁，其實與我前面寫的（G.12)的證明過程相同。
以下筆記參考華中科大的慕課“復變函數與積分變換”：

---

$$參考資料$$

1.“6.離散格子的傅里葉變換和反傅里葉變換”這部分是來源於guanjihuan的博客： https://www.guanjihuan.com/archives/812
2.白一鳴等，《固體物理學習指導及習題集》 中國水利水電出版社
3.尹真《電動力學》中的附錄.
4.華中師范汪德新數理方法書、量子力學書
其他參考資料都在內容中有提及。