這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
L2積分
在上節課最后，引出了均方收斂，
$\displaystyle{\int_0^1\left| \sum_{k=-n}^{n}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}-f(t)\right|^2 dt} \to 0 \ \text{if} \ n \to \infty$
均方收斂的這種分析方法需要$f(t)$滿足一個條件：$f(t)$在$[0,1]$內可積，即$\displaystyle{\int_0^1\left|f(t)\right|^2dt<\infty}$。這種積分被稱為$L2$積分，L代表數學家Lebesgue。若$f(t)$滿足該積分條件，則可表示為$f\in L^2([0,1])$。
正交
還記得我們在推導傅里葉式子的時候用了一個積分：
$\displaystyle{\int_0^1e^{2\pi ikt}e^{-2\pi imt}dt = \int_0^1e^{2\pi i(k-m)t}dt = 0, \quad k\neq m}$
這個簡單的式子，將把“幾何”引入到平方可積函數中$L^2([0,1])$，我們會應用到“幾何”中的垂直（正交）概念。通過點乘（dot product）、又稱內積（inner product）運算，如果運算得到的結果為0，則將進行運算的兩者定義為垂直（perpendicularity），又可稱為正交（orthogonality）。
定義如下：
設有復變函數$f,g\in L^2([0,1])$，那么可以把$f,g$分別認為是向量，求這兩個向量的內積方法為
$(f,g) = \displaystyle{\int_0^1f(t)\bar{g}(t)dt}$
當$(f,g)=0$時，就可以說$f$與$g$正交。
模
類比到向量的模，也就是求向量的平方。
$\displaystyle{(f,f)=\left \| f \right \|^2=\int_0^1\left| f(t) \right| ^2dt}$
勾股定理
$\displaystyle{\left \| f+g \right \|^2 = \left \| f \right \|^2 + \left \| g \right \|^2 }$
當且僅當$(f,g)=0$時成立。
投影
利用向量的內積來定義並計算投影（projections）。
幾何上的投影如下圖：
如果$v$是單位向量（正交基），那么$(u,v)$就是$u$在$v$上的投影。
類比到傅里葉系數：
$\displaystyle{\hat{f}(n)=\int_0^1f(t)e^{-2\pi int}dt = (f(t), e^{2\pi int})}$
因此傅里葉系數$\hat{f}(n)$是原函數$f(t)$在$e^{2\pi int}$上的投影。
正交基
幾何上的正交基如下圖：
$u = (0,1), \ v = (1,0)$
$u,v$間有如下關系：
$(u,u) = u^2 = 1, \ (v,v) = v^2 = 1$
$(u,v) = 0$
類比到傅里葉系數：
$(e^{2\pi imt}, e^{2\pi ikt}) = \left\{\begin{matrix}
1 & m = k \\
0 & m \neq k
\end{matrix}\right.$
因此$e^{2\pi ikt}$被稱為傅里葉變換中的正交基。
分量
幾何上，一個向量$a$的分量如下圖：
設x,y軸上分別有正交基$u,v$，那么$a$在x,y軸上的分量計算方法如下：
$a_x = (a,u)u, \ a_y = (a,v)v$
即通過內積得到投影，然后用投影乘上代表向量方向的正交基，得到該方向上的分量。
類比到傅里葉變換：
而根據傅里葉變換的推導，原函數$f(t)$有如下公式：
$\begin{align*}
\displaystyle{f(t)}
&= \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(t)e^{2\pi ikt} } \\
&= \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}(f, e^{2\pi ikt})e^{2\pi ikt} }
\end{align*}$
函數進行傅里葉變換后的每一項，都是函數在正交基$e^{2\pi ikt}$上的分量。反過來看，這些分量相加組合成完整的原始函數。
瑞利等式（Rayleigh's Identity）
幾何向量有勾股定理：
$c^2 = a^2 + b^2, \ (a,b) = 0$
類比到傅里葉變換有瑞利等式如下：
$\displaystyle{\int_0^1 \left | f(t) \right |^2dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left | \hat{f}(k) \right |^2 }$
傅里葉變換后的項互為正交項，正交項內積為0
熱流應用（application to heat flow）
研究的問題如下：
在一個空間中，溫度初始分布函數為$f(x)$，$x$為空間變量。求溫度如何隨着時間與空間變化？
典型例子：熱環
$x$是圓環上的點，$U(x,t)$是某點$x$，某時刻$t$的溫度項。
求解過程如下：
設圓環周期為1，有
$f(x+1) = f(x)$，即$U(x+1,t) = U(x,t)$
根據傅里葉變換有如下等式，
$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k e^{2\pi ikx} }$
另外還有時間變量$t$，那么$t$應該被包含在$C_k$中，即
$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)e^{2\pi ikx} }$
現在我們的目的就變成了求傅里葉系數$C_k(t)$，如果知道了$C_k(t)$，就等於知道了溫度的變化規律。
熱流在一維上，有如下擴散方程（diffusion equation）：
$U_t = aU_{xx}$
$U_t$為$U$對$t$的一次微分，$U_{xx}$為$U$對$x$的二次微分。令$a=\frac{1}{2}$，則
$\color{blue}{U_t} = \color{red}{\frac{1}{2}U_{xx}}$
把$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)e^{2\pi ikx} }$代入上式，得
$\color{blue}{U_t} = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\color{blue}{C_k'(t)}e^{2\pi ikx} }$
$\begin{align*}
\color{red}{\frac{1}{2}U_{xx}}
&= \frac{1}{2} \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)(2\pi ik)^2 e^{2\pi ikx} } \\
&= \frac{1}{2} \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)(-4\pi^2k^2)e^{2\pi ikx} } \\
&= \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\color{red}{C_k(t)(-2\pi^2k^2)}e^{2\pi ikx} }
\end{align*}$
兩邊對比得，
$\color{blue}{C_k'(t)} = \color{red}{–2\pi^2k^2C_k(t)}\qquad \text{for all }k\in \mathbb{Z}$
上述等式為普通的一次微分方程，求解得
$C_k(t) = C_k(0)e^{-2\pi^2k^2t}$