Part0:三角函數系的正交性
我們稱
\[(0),1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\sin 3x,\cos 3x,...,\sin nx,\cos nx,... \]
為三角函數系(trigonometric functions).三角函數系在區間\([-\pi,\pi]\)上正交(orthogonal),即對於其中任意兩個互不相等的函數,其在\([-\pi,\pi]\)上的積分等於零.即,
\[\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx=0;(n=0,1,2,\dots)\\ \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\mathrm{d}x=0;(n,m=0,1,2,\dots)\\ \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\mathrm{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx\mathrm{d}x=0.(n\ne m,n,m=0,1,2,\dots) \]
對於相等的函數,我們有
\[\int_{-\pi}^{\pi}1\mathrm{d}x=2\pi;\\ \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 nx\mathrm{d}x=\pi;\\ \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 nx\mathrm{d}x=\pi.(n=1,2,\dots) \]
我們只需用積化和差公式即可證明.證明略.
Part1:三角級數與傅里葉級數
我們知道,簡單的周期運動可表述為以下形式:
\[y=A\sin(\omega t+\varphi) \]
(又稱之為諧波函數(harmonic function))其中\(A\)稱為振幅(amplitude),\(\omega\)稱為角頻率(angular frequency),\(\varphi\)稱為初相(initial phase).我們考慮一個復雜的周期運動
\[y=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n\omega t+\varphi_n) \]
記\(\frac{a_0}2=A_0,a_n=A_n\sin(\varphi_n),b_n=A_n\cos(\varphi_n),x=\omega t\),則級數可表達為
\[y=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) \]
稱有上述形式的級數為三角級數(trigonometric series).
設\(f(x)\)是周期為\(2\pi\)的周期函數,假設\(f(x)\)可展開成有上述形式的三角級數,那么有
\[a_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm dx,(n=0,1,2,\dots)\\ b_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm dx.(n=1,2,\dots) \]
我們來證明這一結論.
證: 由三角函數的正交性,兩端積分,有
\[\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm dx&=\frac{a_0}2\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm dx+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\mathrm dx+b_n\int_{\pi}^{\pi}\sin nx\mathrm dx)\\ &=a_0\pi\\ \therefore a_0&=\frac1{\pi}\int_{\pi}^{\pi}f(x)\mathrm dx \end{align} \]
我們在兩端同乘以\(\cos kx\)並積分,得
\[\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\mathrm dx&=\frac{a_0}2\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\mathrm dx+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos kx\mathrm dx+b_n\int_{\pi}^{\pi}\sin nx\cos kx\mathrm dx)\\ &=a_k\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos^2 kx\mathrm dx=a_k\pi\\ \therefore a_k&=\frac1{\pi}\int_{\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\mathrm dx \end{align} \]
類似地,用\(\sin kx\)同乘兩端並積分,得
\[\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\mathrm dx&=\frac{a_0}2\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\mathrm dx+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\sin kx\mathrm dx+b_n\int_{\pi}^{\pi}\sin nx\sin kx\mathrm dx)\\ &=b_k\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin^2 kx\mathrm dx=b_k\pi\\ \therefore b_k&=\frac1{\pi}\int_{\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\mathrm dx \end{align} \]
綜上,有
\[a_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm dx,(n=0,1,2,\dots)\\ b_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm dx.(n=1,2,\dots) \]
我們稱\(a_n,b_n\)為\(f(x)\)(所確定)的傅里葉系數(Fourier coefficient),以\(f(x)\)的傅里葉系數為系數的三角級數稱為傅里葉級數(Fourier series),記為
\[\boxed{ f(x)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),\\ a_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm dx,(n=0,1,2,\dots),\\ b_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm dx.(n=1,2,\dots).} \]
然而,我們只是假設了傅里葉級數存在,並未說明假設究竟什么時候成立,即\(f(x)\)滿足什么條件才可以展開成傅里葉級數.事實上,有
狄利克雷(Dirichlet)條件
設\(f(x)\)是周期為\(2\pi\)的周期函數,若\(f(x)\)滿足狄利克雷條件,即，
\(1.\)在一個周期上只有有限個第一類間斷點;
\(2.\)在一個周期上只有有限個極值點;
則\(f(x)\)可展開為傅里葉級數,且
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx_0+b_n\sin nx_0)=\\ \begin{cases} f(x_0),x_0\text{為連續點},\\ \frac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}2,x_0\text{為第一類間斷點}. \end{cases} \]
事實上,狄利克雷條件是函數能展開成傅里葉級數的充分不必要條件.
我們來看一個例子.
例 設\(f(x)\)是周期為\(2\pi\)的周期函數,它在一個周期\([-\pi,\pi]\)上的表達式如下:
\[f(x)=\begin{cases} -1,-\pi\le x<0,\\ 1,0\le x<\pi \end{cases} \]
試將\(f(x)\)展開成傅里葉級數.
解:先求傅里葉系數:
\[\begin{align} a_n&=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm dx\\ &=\frac1{\pi}(\int_{-\pi}^0(-1)\cos nx\mathrm dx+\int_0^{\pi} 1\cdot\cos nx\mathrm dx)\\ &=0.(n=0,1,2,\dots) \end{align} \]
\[\begin{align} b_n&=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm dx\\ &=\frac1{\pi}(\int_{-\pi}^0(-1)\sin nx\mathrm dx+\int_0^{\pi} 1\cdot\sin nx\mathrm dx)\\ &=\frac1{\pi}\left[\frac{\cos nx}n\right]_{-\pi}^0+\frac1{\pi}\left[-\frac{\cos nx}n\right]_0^{\pi}=\frac2{n\pi}(1-\cos nx)\\ &=\frac2{n\pi}[1-(-1)^n]=\begin{cases}\ \frac4{n\pi},n=1,3,5,\dots,\\ 0,n=2,4,6,\dots,\\ \end{cases} \end{align} \]
\[\begin{align} \therefore f(x)&=\frac4{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2n-1}\sin[(2n-1)x],(x\in\R,x\ne 0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots,\pm k\pi,\dots)\\ &=\frac4{\pi}[\sin x+\frac13\sin 3x+\frac15\sin 5x+\dots+\dots] \end{align} \]
特別地,當\(x=k\pi,(k\in\Z)\)時,級數收斂於\(0\).
Part2:任意周期函數的傅里葉級數
我們設\(f(x)\)是周期為\(2l\)的周期函數,我們另\(u=\frac{\pi x}l\),則\(f(u)\)可以展開成傅里葉級數,且
\[f(u)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nu+b_n\sin nu),\\ a_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(u)\cos nu\mathrm du,(n=0,1,2,\dots)\\ b_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(u)\sin nu\mathrm du.(n=1,2,\dots) \]
帶入\(u=\frac{\pi x}l\),得
\[\boxed{ f(x)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}l+b_n\sin \frac{n\pi x}l),\\ a_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos \frac{n\pi x}l\mathrm dx,(n=0,1,2,\dots)\\ b_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin \frac{n\pi x}l\mathrm dx.(n=1,2,\dots)} \]
這就是任意周期函數的傅里葉級數展開公式.對於任意周期的周期函數,狄利克雷條件類似.
本文完
