傅 里 葉 級 數
設fT(t)是以T為周期的實值函數，且在[-T/2,T/2]上滿足狄利克雷條件，即f(t)在[-T/2,T/2]上滿足
（1）：連續或只有有限個第一類間斷點
（2）：只有有限個極值
則在fT(t)的連續點處有
$$
f_T\left( t \right) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}{\left( a_n\cos n\omega _0t+b_n\sin n\omega _0t \right)}\,\, \text{式}1
$$
其中
$$
\omega _0=\frac{2\pi}{T}
\\
a_n=\frac{1}{\frac{T}{2}}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\begin{array}{c}
f_T\left( t \right) \cos n\omega _0tdt\,\, \left( n=0,1,2... \right)\\
\end{array}}
\\
b_n=\frac{1}{\frac{T}{2}}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\begin{array}{c}
f_T\left( t \right) \sin n\omega _0tdt\,\, \left( n=1,2,3... \right)\\
\end{array}}
$$
在fT(t)的間斷點處，式1的左端為
$$
\frac{1}{2}\left[ f_T\left( t+0 \right) +f_T\left( t-0 \right) \right]
$$
將其代入式1，即可得到fT(t)的傅里葉展開式。
由於正弦函數和余弦函數可以統一的由指數函數表出，因此可以得到另一種更簡潔的形式，由歐拉公式可知
$$
\cos n\omega _0t=\frac{1}{2}\left( e^{jnw_0t}+e^{-jn\omega _0t} \right) \,\,, \sin n\omega _0t=\frac{j}{2}\left( e^{-jn\omega _0t}-e^{jn\omega _0t} \right)
$$
代入式1可得
$$
f_T\left( t \right) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}{\left( \frac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega _0t}+\frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jn\omega _0t} \right)}\,\, \text{式}2
$$
令
$$
c_0=\frac{a_0}{2},c_n=\frac{a_n-jb_n}{2},c_{-n}=\frac{a_n+jb_n}{2}\,\, \left( n=1,2,... \right)
$$
可得
$$
f_T\left( t \right) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_ne^{jn\omega _0t}\,\, }\text{式}2
\\
c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f_T\left( t \right) e^{jn\omega _0t}dt\,\, \left( n=0,\pm 1,\pm 2,... \right)}\,\, \text{式}3
$$
我們稱1式為傅里葉級數的三角形式，式2為傅里葉級數的復指數形式。工程上一般采用后一種形式。
傅 里 葉 變 換
傅里葉變換是積分變換中最常見的一種變換，他既能化簡運算（如求解微分方程，化卷積為乘積），又具有非常特殊的物理意義。但是傅里葉級數要求被展開的級數必須是周期函數，而在實際問題中，遇到的大都是非周期函數。
因此可以將非周期函數f(t)看成是一個周期無窮大的周期函數，即非周期函數f(t)的周期為（-∞，+∞）。
傅里葉積分定理：如果f(t)在[-∞,+∞]上的任一有限區間滿足狄氏條件，且在（-∞，+∞）上絕對可積，那么由2式和3式可得
$$
f\left( t \right) =\lim_{T\rightarrow +\infty} f_T\left( t \right) =\lim_{T\rightarrow +\infty} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{\left[ \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f_T\left( \tau \right) e^{-jn\omega _0\tau}d\tau} \right]}e^{jn\omega _0t}\,\, \text{式}4
$$
式4稱為傅里葉積分公式或者傅里葉積分表達式。
傅里葉變換：從式4出發，令
$$
F\left( \omega \right) =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-j\omega t}dt}\,\, \text{式}5
\\
\text{則有：}f\left( t \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{F\left( \omega \right) e^{j\omega t}d\omega}\,\, \text{式}6
$$
式5稱為傅里葉變換，式6稱為傅里葉逆變換