信號與系統之（二）傅里葉級數和傅里葉變換

信號與系統之（二）傅里葉級數和傅里葉變換

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       今天我們來講一下傅里葉級數和傅里葉變換，想必各位這一知識點會有不少疑問。在進入正題之前，我先扯淡一下。2014年院運會在今天如期舉行了，我如往年一樣參加了400米，最終以60’55“拿得了第三名。真是千年老三，為什么這么說？在這三年的院運會、校運會的比賽項目中，我拿了4次第三名，也是醉。今年第一次參加了綁腿跑，往年我們的綁腿跑都會摔得很慘，為了能夠做到不摔，我們有節奏得淡定地走了過去，最后我們真的做到了，congratulation！扯淡到此結束，進入正題吧。在這篇博文中，如果有什么不對的地方，也還希望大家不吝指正，謝謝。

    緊接着上一文的故事：

    張三愉快地工作着，直到有一天，平靜的生活被打破。
    經理拿來了一個小的電子設備，接到示波器上面，對張三說:"看，這個小設備產生的波形根本沒法用一個簡單的函數來說明，而且，它連續不斷的發出信號！不過幸好，這個連續信號是每隔一段時間就重復一次的。張三，你來測試以下，連到我們的設備上，會產生什么輸出波形！"
    張三擺擺手:"輸入信號是無限時長的，難道我要測試無限長的時間才能得到一個穩定的，重復的波形輸出嗎?"
    經理怒了:"反正你給我搞定，否則炒魷魚！"
    張三心想:"這次輸入信號連公式都沒給出來，一個很混亂的波形；時間又是無限長的，卷積也不行了，怎么辦呢?"
    及時地，上帝又出現了:"把混亂的時間域信號映射到另外一個數學域上面，計算完成以后再映射回來"
    "宇宙的每一個原子都在旋轉和震盪，你可以把時間信號看成若干個震盪疊加的效果，也就是若干個可以確定的，有固定頻率特性的東西。"
    "我給你一個數學函數f，時間域無限的輸入信號在f域有限的。時間域波形混亂的輸入信號在f域是整齊的容易看清楚的。這樣你就可以計算了"
    "同時，時間域的卷積在f域是簡單的相乘關系，我可以證明給你看看"
    "計算完有限的程序以后，取f(-1)反變換回時間域，你就得到了一個輸出波形，剩下的就是你的數學計算了！"
    張三謝過了上帝，保住了他的工作。后來他知道了，f域的變換有一個名字，叫做傅利葉。

    這一故事出自一位大神的博客，我個人對於它的內容還是有一點疑問。以下是我對這個故事的理解，寫一下上帝的證明。

    對於一個時間無限的以T為周期的連續信號x(t)，我們可以求得它的傅里葉級數為：

    其中基波頻率Wo=2/pi;上式表明x(t)可由無數個諧波疊加而成，其中諧波的權重就是ak。只要諧波的個數足夠大時就可以近似地表示x(t),我們把它取為N,則

    對於一個非周期信號x(t),其傅里葉變換和反變換的定義為：

    通過相關的計算，我們可知以下的傅里葉變換對：

    那么小設備輸出的周期信號的傅里葉變換為：

    上一文我們測試出了LTI系統的單位脈沖相應為h(t),可以求得h(t)的傅里葉變換h(jw)。我們可以證得兩個函數的卷積和傅里葉變換之間有以下關系：

    

    通過計算X(jw)與X(jw)的乘積，就可得出輸出地傅里葉變換Y(jw),在對Y(jw)求傅里葉反變換可得到輸出y(t)。