傅里葉分析
前言：傅里葉分析研究如何將一個函數或信號表達為基本波形的疊加。主要研究分支包括傅里葉級數和傅里葉變換。
參考：傅里葉分析之掐死教程（完整版）更新於2014.06.06
頻域、時域 與 正弦波
頻域類比音符，時域類比樂曲，音符是靜止永恆的，樂曲是時間相關的且基於音符的。
頻域：
時域：
正弦波：正弦波就是一個做圓周運動的質點的歷史軌跡平鋪在時間軸上，對質點運動照相，得到該質點該時刻的 "相"，就是相位，描述質點圓周運動時某一時刻的位置。
傅里葉級數、時域頻域
傅里葉級數把類似波的函數表示成簡單正弦波，定義是：將周期函數或周期信號分解成簡單振盪函數的集合，即正弦函數和余弦函數。
\[\begin{aligned} f(t) &=\frac{a_{0}}{2}+a_{1} \cos (\omega t)+b_{1} \sin (\omega t) \\ &+a_{2} \cos (2 \omega t)+b_{2} \sin (2 \omega t) \\ &+\ldots \\ &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos (n \omega t)+b_{n} \sin (n \omega t)\right] \end{aligned} \]
其中
\[\begin{aligned} a_{n} &=\frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) \cos (n \omega t) d t \\ b_{n} &=\frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) \sin (n \omega t) d t \end{aligned} \]
傅里葉級數的圖像為
傅里葉變換、時域 與 頻域
傅里葉級數將一個時域上的波形轉換為多個正弦波疊加，多個正弦波在頻域上的表示是離散的；傅里葉變換則將時域上的波形轉為頻域上的連續圖像。
原來頻域上離散譜的疊加是求和，現在連續譜就是求積分。
時域轉換至頻域：
\[\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi i x \xi} dx\quad \xi為任意實數 \]
自變量 \(x\) 表示時間 ( 以秒為單位 )，變換變量 \(\xi\) 表示頻率 ( 以 Hz 為單位)。頻域至時域：
\[f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2 \pi i \xi x} d \xi \]
傅里葉變換的圖像為
虛數 \(i\)、歐拉公式 與 指數
參考：復數的物理意義是什么？ - Heinrich的回答 - 知乎
復數 \(i\) 的物理意義是旋轉，函數 \(e^x\) 圖像是
指數加上 \(i\)，變成
歐拉公式描述一個在復平面上做圓周運動的點，在時間軸上運動軌跡成螺旋線，只看實部，是基礎余弦函數，只看虛部，是基礎正弦函數(幾何形式理解)。
\[e^{it}=cos(t)+isin(t) \]
當 \(t=\pi\)，\(e^{\pi i}=cos(\pi)=-1\)，得歐拉公式：
\[e^{\pi i}+1=0 \]
歐拉公式實現了正弦波與復指數的統一。在歐拉公式的支持下，正弦波的疊加可理解為螺旋形的疊加在實數空間的投影。
歐拉公式另一種代數形式理解，由泰勒公式展開：
\[\begin{aligned} e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...\end{aligned} \]
\[sin\theta=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5}x^5+... \]
\[cos\theta=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+... \]
當 \(x=i\theta\)
\[\begin{aligned} e^{i\theta}&=1+i\theta+\frac{1}{2!}(i\theta)^2+\frac{1}{3!}(i\theta)^3+...\\&=1+i\theta-\frac{1}{2!}\theta^2-\frac{1}{3!}i\theta^3+\frac{1}{4!}\theta^4+\frac{1}{5!}i\theta^5+...\\&=(1-\frac{1}{2!}\theta^2+\frac{1}{4!}\theta^4+...)+i(\theta-\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^5+...)\\&=cos(\theta)+isin(\theta) \end{aligned} \]
所以有
\[\cos (t)=\frac{e^{i t}+e^{-i t}}{2} \]
在幾何意義上理解這個式子就是 \(e^{it}\) 為逆時針旋轉的螺旋形，\(e^{-it}\) 為順時針旋轉的螺旋線，\(cos(t)\) 是 這兩條旋轉方向不同的螺旋線疊加的一半，因為這兩條螺旋線的虛數部分相互抵消掉了！
那么傅里葉變換的螺旋線表示為
總結
將復頻域的螺旋形圖投影至實數空間就得頻域的波浪圖，將頻域的波浪圖通過傅里葉變換得到最初的時域信號。
