這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
熱方程后續
上節課推導出熱方程的傅里葉系數：
$C_k(t) = C_k(0)e^{-2\pi ^2 k^2t}$
那么$C_k(0)$是什么?
上節課有提到溫度有如下關系式：
$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)e^{2\pi ikx} }$
當$t=0$，代表初始時刻圓環上的溫度分布
$f(x) = U(x,0) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(0)e^{2\pi ikx} }$
則，$C_k(0)$為$f(x)$的傅里葉系數
$C_k(0) = \hat{f}(k)$
因此，溫度分布公式（熱方程）如下：
$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)e^{-2\pi^2k^2t}e^{2\pi ikx} }$
溫度$U$與時間$t$的關系為：當$t \to \infty$，$-2\pi^2k^2t \to –\infty$，$e^{-2\pi^2k^2t} \to 0$，$U \to 0$。因此，圓環的溫度最終會變為0。
熱方程進一步推導，引入卷積
我們可以對熱方程中的$\hat{f}(k)$進行進一步分解
$\hat{f}(k) = \displaystyle{\int_0^1 e^{-2\pi iky}f(y)dy}$
考慮到初始時刻的溫度分布$f(x)$與熱方程$U(x,t)$中的位置變量$x$可能會取不同的值，我們在此把$f(x)$寫成$f(y)$。
把$\hat{f}(k)$代入熱方程后，得
$\begin{align*}
U(x,t) &=\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}(\int_0^1 e^{-2\pi iky}f(y)dy) e^{-2\pi^2k^2t}e^{2\pi ikx}} \\
&=\displaystyle{\int_0^1(\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi iky}e^{2\pi ikx}e^{-2\pi^2k^2t})f(y)dy } \\
&=\displaystyle{\int_0^1(\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ik(x-y)}e^{-2\pi^2k^2t})f(y)dy }
\end{align*}$
令
$g(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}e^{-2\pi^2k^2t} }$
上面的等式被稱為熱核方程（heat kernel），則
$U(x,t) = \displaystyle{\int_0^1g(x-y,t)f(y)dy }$
如上面的等式，熱方程被轉換成了卷積的表現形式
從傅里葉級數到傅里葉變換
傅里葉級數到傅里葉變換是從周期現象到非周期現象的轉變，我們可以將非周期函數看做是周期函數的一種特殊情況：周期趨於無窮。
對於周期為1的函數
$C_k = \displaystyle{\hat{f}(k) = \int_0^1e^{-2\pi ikt}f(t)dt }$
$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt} }$
頻譜圖如下
由於$C_k$為復數形式，因此我們無法在圖上畫出，因此只能畫出$\left | C_k \right | = \left | a + bi \right | = \sqrt{a^2 + b^2}$。另外我們在第二節課的時候也學過，$C_k$是y軸對稱的。
對於周期為T的函數
$\begin{align*}
C_k = \displaystyle{\hat{f}(k) } &= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_0^1e^{-\frac{2\pi }{T}ikt}f(t)dt } \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}f(t)dt }
\end{align*}.$
$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)e^{2\pi i\frac{k}{T}t} }$
頻譜圖如下
由於周期為$T$，因此頻率為$\frac{1}{T}$。當$T \to \infty$，$\frac{1}{T} \to 0$，此時頻譜會變得連續了。
$T \to \infty$
但是是否僅僅讓$T \to \infty$就能得到傅里葉變換？答案是否定的，下面來看一個例子
有一個函數f(t)如下圖
該函數的傅里葉系數求解過程如下
$\begin{align*}
C_k = \displaystyle{\hat{f}(k) }
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}f(t)dt } \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}f(t)dt } \\
&\leqslant \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b \left | e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}\right | \left |f(t) \right |dt } \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b Mod(e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}) \left |f(t) \right |dt } \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b Mod(cos(-2\pi \frac{k}{T}t) + isin(-2\pi \frac{k}{T}t)) \left |f(t) \right |dt } \quad spread \ with \ Eular \ Formula \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b \sqrt{cos^2(-2\pi \frac{k}{T}t) + sin^2(-2\pi \frac{k}{T}t)} \left |f(t) \right |dt } \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b 1\left |f(t) \right |dt } \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b \left |f(t) \right |dt } \\
&= \frac{M}{T}
\end{align*}.$
即對於所有$C_k$都有$C_k \leqslant \frac{M}{T}$。
$M$是該函數絕對值的積分，是有限值，如果$T \to \infty$，則所有的$C_k \to 0$。所有傅里葉系數為0則該傅里葉變換毫無意義。