這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
傅里葉變換沒有統一的定義
符號
傅里葉變換的符號在不同的書籍可能有不同的寫法：
如正變換的符號：$\mathcal{F} f(s)$，$\hat{f}(s)$，$F(s)$
如反變換的符號：$\mathcal{F}^{-1}f(t)$，$\check{f}(t)$，$f(t)$
公式
傅里葉變換的公式也沒有統一的寫法：
本課程采用的是如下公式
$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt }$
另外有些書本的寫法是
$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ist}f(t)dt }$
這是由於采用不同的周期而導致的，但是盡管寫法不同，但表示的都是同樣的意思。
高斯（Gaussian）函數的傅里葉變換
高斯函數的歸一化（積分為1）式子如下：
$f(t) = e^{-\pi t^2}$
高斯函數圖像如下：
對高斯函數進行積分過程如下：
由於高斯函數的變量$t$是在冪的位置上，而且是二次方，因此無法直接用$dt$對其進行積分計算。下面采用極坐標方法
$\begin{align*}
\left(\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}dt}\right)^2
&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi x^2}dx\times \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi y^2}dy}\\
&=\displaystyle{\iint_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi(x^2+y^2)}dxdy}\\
&=\int_0^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-\pi r^2}rdrd\theta\\
&=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\pi r^2}rdr\\
&=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\pi r^2}d(\frac{1}{2}r^2)\\
&=\frac{2\pi}{\pi}\times\frac{1}{2}\int_0^{\infty}e^{-\pi r^2}d\pi r^2\\
&=\int_0^{\infty}e^{-s}ds\\
&=\left. -e^{-s}\right|_0^{\infty}\\
&=0-(-1)\\
&=1
\end{align*}$
那么該高斯函數的積分為
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}dt = \sqrt{1} = 1 }$
下面對高斯函數進行傅里葉變換
$\begin{align*}
F(s)=\mathcal{F} f(s)
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}dt
\end{align*}$
這也是一個非常難以積分的項，我們需要采用其他巧妙的方法：微分
$\begin{align*}
F'(s)=\mathcal{F} f'(s)
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d(e^{-2\pi ist})}{ds}e^{-\pi t^2}dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}-2\pi ite^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}dt\\
&=i\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}(-2\pi te^{-\pi t^2})dt\\
&=i\left(\left. e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}\right|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}(-2\pi ise^{-2\pi ist})dt\right)\\
&=-2\pi s\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}dt\qquad eliminate\ \left. e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}\right|_{-\infty}^{\infty}\ because\ |e^{-2\pi ist}|=1,\lim_{t\to\infty}e^{-\pi t^2}=0\\
&=-2\pi sF(s)
\end{align*}$
求偏微分方程，得
$F(s) = F(0)e^{-\pi s^2} = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}dt\times e^{-\pi s^2} } = e^{-\pi s^2}$
也就是說歸化為1的高斯函數的傅里葉變換還是歸化為1的高斯函數
反轉信號（reverse signal）
這是一個新的定義，目的是為了方便式子的表達，定義如下
令$f^{-}(t) = f(-t)$
$f^{-}(t)$即為$f(t)$的反轉
傅里葉變換的對偶性（Fourier Transform Duality）
回顧一下傅里葉變換：
$F(s) = \mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt }$
當取值為$-s$時，
$F(-s) = \mathcal{F} f(-s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ist}f(t)dt } = \mathcal{F}^{-1}f(s)$
一般來說，$f(t)$是時域，$F(s)$是頻域，$f(t)$通過傅里葉變換得到$F(s)$，$F(s)$通過逆變換得到$f(t)$。不過上面的式子是對$f(t)$進行傅里葉逆變換，在這里，我們並不需要分析這個等式所表示的含義，而是把傅里葉變換當作工具使用。
對偶定理1
把反轉信號引入傅里葉變換的對偶性中，得$\mathcal{F} f(-s) = (\mathcal{F} f)^{-}(s)$，而且上面對偶性討論已得出結論：$\mathcal{F} f(-s) = \mathcal{F}^{-1}f(s)$，即有
$(\mathcal{F} f)^{-}(s) = \mathcal{F}^{-1}f(s)$
$(\mathcal{F} f)^{-} = \mathcal{F}^{-}f$
函數的傅里葉變換的反轉等於對該函數進行傅里葉逆變換。
對偶定理2
如果對$f^{-}(t)$進行傅里葉變換會得到什么結果呢？
$\begin{align*}
\mathcal{F}(f^{-}(s))
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(-t)dt\\
&= \int_{+\infty}^{-\infty}e^{-2\pi is(-u)}f(u)d(-u) \qquad let \ u=-t\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi isu}f(u)du\\
&= \mathcal{F}^{-1}f(s)
\end{align*}$
即，
$\mathcal{F}(f^{-}) = \mathcal{F}^{-}f$
函數的反轉的傅里葉變換等於對該函數進行傅里葉逆變換。
對偶定理3
把對偶定理1與對偶定理2結合起來，得
$(\mathcal{F} f)^{-} = \mathcal{F}(f^{-})$
函數的傅里葉變換的反轉等於對該函數反轉的傅里葉變換
對偶定理4
對函數進行兩次傅里葉變換
$\mathcal{F}\mathcal{F} f = \mathcal{F}(\mathcal{F} f) = \mathcal{F} (\mathcal{F}^{-}(f^{-})) = f^{-}$
函數連續進行兩次傅里葉變換等於該函數的反轉。
對偶定理的應用
對偶定理的目的是為了方便計算，如：
求$sinc$函數的傅里葉變換。
$sinc = \frac{sin \pi s}{\pi s}$
由上一節課我們知道$\pi$函數經過傅里葉變換后得到$sinc$函數，那么我們就運用傅里葉變換的對偶定理能進行如下計算
$\mathcal{F} sinc = \mathcal{F}\mathcal{F} \pi = \pi^{-} = \pi$