這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
分布傅里葉變換的定義
在傅里葉變換領域中，測試函數$\varphi$選擇了速降函數（Schwartz Functions）。與之對應的分布$T$通常被稱為緩增分布（Tempered Distributions）。
$<T,\varphi>$
上式表示了，給定測試函數$\varphi$，分布$T$對測試函數$\varphi$進行作用，得到的結果為一個數值，該過程也被稱為匹配（Pair）。這種作用是通過積分來實現的。
$<T,\varphi> = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}T(x)\varphi(x)dx}$
由於速降函數足夠優秀，因此其對應的分布——緩增分布（又稱緩增廣義函數）——能包含絕大多數一般函數甚至奇特的函數。而且，非常重要的一點，我們在十一課的時候已經證明過：速降函數進行正傅里葉變換或逆傅里葉變換后，仍是速降函數。
$\mathcal{F}\varphi(s)\in S \quad as \quad \varphi(x)\in S$
$\mathcal{F}^{-1}\varphi(x) \in S \quad as \quad \varphi(s)\in S$
緩增分布的傅里葉變換
首先，假設緩增分布$T$可以進行傅里葉變換，變換后為分布$\mathcal{F}T$，$\mathcal{F}T(x)$對速降函數$\varphi(x)$進行作用
$\begin{align*}
<\mathcal{F}T,\varphi>
&=\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}T(x)\varphi(x)dx \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ixy}T(y)dy \right )\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ixy}\varphi(x)dx \right )T(y)dy\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\varphi(y)T(y)dy\\
&=<T,\mathcal{F}\varphi>
\end{align*}$
由於$\varphi\in S \quad \Rightarrow \quad \mathcal{F}\varphi \in S$，因此$<T,\mathcal{F}\varphi>$是有意義的。根據這個結果，可以有以下定義：
- 定義緩增分布$T$的傅里葉變換為$\mathcal{F}T$，$\mathcal{F}T$作用於速降函數$\varphi$就相當於$T$作用於速降函數的傅里葉變換$\mathcal{F}\varphi$
$<\mathcal{F}T,\varphi> = <T,\mathcal{F}\varphi>$
同理可得，分布的傅里葉逆變換如下
$<\mathcal{F}^{-1}T,\varphi> = <T,\mathcal{F}^{-1}\varphi>$
分布傅里葉變換的例子
下面請看是如何運用上面得到的定義來求分布的傅里葉變換的
$\mathcal{F}\delta$
$\begin{align*}
<\mathcal{F}\delta,\varphi>
&=<\delta,\mathcal{F}\varphi>\\
&=\mathcal{F}\varphi(0)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i0x}\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot\varphi(x)dx\\
&=<1,\varphi>
\end{align*}$
因此
$\mathcal{F}\delta = 1$
在$\delta$的定義中，我們知道$\delta$無限集中於$0$點，我們通過$\Pi$函數的極限形式來逼近它。而它的傅里葉變換為$1$，這是均勻散開的。還記得我們曾經在討論傅里葉縮放的時候講過——時域的集中會導致頻域的分散，這就是一個極端的例子。
$\mathcal{F}\delta_a$
$\begin{align*}
<\mathcal{F}\delta_a,\varphi>
&=<\delta_a,\mathcal{F}\varphi>\\
&=\mathcal{F}\varphi(a)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi iax}\varphi(x)dx\\
&=<e^{-2\pi iax},\varphi>
\end{align*}$
因此
$\mathcal{F}\delta_a = e^{-2\pi iax}$
$\mathcal{F}e^{2\pi iax}$
$\begin{align*}
<\mathcal{F}e^{2\pi iax},\varphi>
&=<e^{2\pi iax},\mathcal{F}\varphi>\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi iax}\mathcal{F}\varphi(x)dx\\
&=\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}\varphi(a)\\
&=\varphi(a)\\
&=<\delta_a,\varphi>
\end{align*}$
因此
$\mathcal{F}e^{2\pi iax} = \delta_a$
當$a=0$時，$e^{2\pi iax} = 1$，則$\mathcal{F}1=\delta$。$f(x) = 1$的傅里葉變換為$\delta$，這是一個時域分散導致頻域集中的極端例子。
$\mathcal{F}cos(2\pi ax)$
$\begin{align*}
\mathcal{F}cos(2\pi ax)
&= \mathcal{F}\left( \frac{1}{2}(e^{2\pi iax}+e^{-2\pi iax})\right ) \qquad(Eular \ Equation)\\
&=\frac{1}{2}\left(\mathcal{F}e^{2\pi iax} +\mathcal{F}e^{-2\pi iax}\right)\\
&=\frac{1}{2}(\delta_a+\delta_{-a})
\end{align*}$
$\mathcal{F}sin(2\pi ax)$
$\begin{align*}
\mathcal{F}sin(2\pi ax)
&= \mathcal{F}\left( \frac{1}{2i}(e^{2\pi iax}-e^{-2\pi iax})\right ) \qquad (Eular \ Equation)\\
&=\frac{1}{2i}\left(\mathcal{F}e^{2\pi iax} -\mathcal{F}e^{-2\pi iax}\right)\\
&=\frac{1}{2i}(\delta_a-\delta_{-a})
\end{align*}$
由這些例子可見，在我們把$\delta$，常數，$cos$，$sin$引入到緩增分布后，能簡單地得出他們的傅里葉變換，而這些都是我們在傳統傅里葉變換時無法做到的。