這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
光的衍射（Diffraction）
光在傳播過程中，遇到障礙物或小孔（窄縫）時，它有離開直線路徑繞到障礙物陰影里去的現象，這種現象稱為光的衍射。衍射會產生明暗條紋或光環。
衍射的形成有三個要素：
1. 光源（source）
2. 上面分布着小孔的衍射屏（aperture plane），光線只能通過小孔穿透到另一側
3. 接收小孔傳播過來的光線，並在上面形成圖形的的接收屏（image plane）
衍射屏與接收屏的距離決定了有兩種衍射
1. 衍射屏與接收屏的距離相比光波長較近，稱為近場衍射（near-field），又成為菲涅耳衍射（Frenel diffraction）
2. 衍射屏與接收屏的距離相比光波長較遠，稱為遠場衍射（far-field），又稱為夫琅禾費衍射（Fraunhoffer diffraction）
我們平常所做的衍射實驗還有一個附加條件：光源需要離衍射屏足夠遠，使得光可以平行經過衍射屏上的小孔，並且光波在衍射平面上有相同的相位。
光的數學表示
我們這里只研究光的波動性。因此假設光是震盪的電磁場，並且是單色光（單一頻率）。
在衍射屏上有光波表示為（波的復數表示形式）
$Ee^{2\pi i\nu t}$
其中$E$表示電場強度，$\nu$表示頻率，$t$為時間，表明光波隨時間波動。
接收屏上的光波表示
要求解這個問題需要用到惠更斯原理（Huyghens' Principle）。惠更斯原理講的是，衍射屏上的每個小孔，都可以視為一個新的光源。
如上圖，則通過$dx$的光波記為
$E_0e^{2\pi i\nu t}dx$
現要求$P$點處光波的變化。光波在$P$點的變化有幅度與相位的變化，我們這里分析的是相位變化，因此忽略幅度變化。
相位與光傳播的距離$r$以及光的波長$\lambda$相關。小孔$x$與$P$點間有$\frac{r}{\lambda}$個光波，因此相位（弧度）的變化為$\frac{2\pi r}{\lambda}$。因此經由$x$到$P$點的光波為
$dE = E_0e^{2\pi i\nu t}e^{2\pi i\frac{r}{\lambda}}$
因此，經過整個衍射屏后傳播到$P$點的總光波為
$E=\displaystyle{\int_{aperture}E_0e^{2\pi i\nu t}e^{2\pi i\frac{r}{\lambda}}dx }$
與$x$相關的部分只有$r$，因此
$E=\displaystyle{E_0e^{2\pi i\nu t}\int_ {aperture}e^{2\pi i \frac{r}{\lambda}}dx }$
現引入夫琅禾費近似公式
假設$r\gg x$，則
$r=r_0-xsin\theta$
把該等式代入上述光波$E$的式子，得
$\begin{align*}E
&=E_0e^{2\pi i\nu t}\int_{aperture}e^{2\pi i\frac{1}{\lambda}(r_0-xsin\theta)}dx\\
&=E_0e^{2\pi i\nu t}e^{2\pi i\frac{r_0}{\lambda}}\int_{aperture}e^{-2\pi i\frac{xsin\theta}{\lambda}}dx
\end{align*}$
由於我們只關心相位的相關部分，也就是積分內的相關部分，因此可以寫成
$E \propto \displaystyle{\int_{aperture}e^{-2\pi ix\frac{sin\theta}{\lambda}}dx}$
令$p=\frac{sin\theta}{\lambda}$，
$E \propto \displaystyle{\int_{aperture}e^{-2\pi ixp}dx}$
對於衍射屏上的小孔，我們可以用孔徑函數$A(x)$來記錄
$A(x)=\begin{cases}
1 & \text{ , } x\in aperture \\
0 & \text{ , } otherwise
\end{cases}$
只有小孔才能使光波穿過，其余地方都不透光，即
$E\propto \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}A(x)e^{-2\pi ipx}dx }$
我們看到，等式右邊是一個傅里葉變換，即
$E\propto \mathcal{F}A(p)\quad ,\quad p=\frac{sin\theta}{\lambda}$
結論：
- 光的強度是孔徑函數傅里葉變換的幅值（Intensity of the light is the magnitude of the Fourier Transform of aperture function）
單縫衍射
單縫衍射的截面的孔徑函數是一個$\Pi$函數
$A(x)=\Pi_a(x)$
那么其衍射圖像的截面為
$\mathcal{F}A(x)=asinc\left( \frac{asin\theta}{\lambda} \right) \quad,\quad p=\frac{sin\theta}{\lambda}$
我們肉眼觀察到的光強度是其絕對值
$|\mathcal{F}A(x)|=\left| asinc\left( \frac{asin\theta}{\lambda} \right)\right| $
如果光不是從小孔射進，而是一個點（point），即點光源，而接收屏離衍射屏足夠遠，那么有如下分析：在點上射出的光源用$\delta$表示，其在接收屏的光為$\mathcal{F}\delta=1$，即光會均勻照亮接收屏。
楊氏雙縫實驗（Young's double slits）
$A(x) = \Pi_a(x-\frac{b}{2})+\Pi_a(x+\frac{b}{2})$
$\mathcal{F}A(x) = a(sinap)2cos(\pi bp)\quad,\quad p=\frac{2\pi \theta}{\lambda}$