1. 傅里葉級數
（第1課）
周期性現象在數學上通過三角函數進行表述
（第2課）
現象能通過周期化都變得具有周期性。
有一種周期函數叫做傅里葉級數，他們由不同頻率的三角函數組合而成，並且能進一步推導成復指數的形式，當中的系數被稱為傅里葉系數。
可以推導出傅里葉系數為
$C_k = \displaystyle{\int_{0}^{1}}e^{-2\pi ikt}f(t)dt$
那么是否所有的周期函數都能表示成不同頻率的三角函數組合的形式呢？課上教授並沒有詳細推導，這里有推導過程，結果當然是正確的，條件就是傅里葉系數有無限多個，也就是頻率涵蓋（$-\infty<k<\infty$）。
（第3課）
收斂問題，這種由傅里葉系數重新組合的形式是否完全與原函數相同？這里討論了收斂問題，它們在$L^2$上是收斂的。
（第4課）
從另外一個方向去看待傅里葉級數問題，把不同頻率的復指數$e^{2\pi ikt}$當作$L^2$空間上的正交基，傅里葉系數就相當於原函數在這個正交基上的投影
傅里葉級數在熱方程上的應用，並引入卷積
2.傅里葉變換
（第6課）
從傅里葉級數到傅里葉變換，從周期函數推廣到非周期函數，其實就是把周期看作無限大了，但是此時的傅里葉系數會變為0，因此需要另尋出路（第5課）。對式子稍作調整后就可以得到傅里葉變換
$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi ist}f(t)dt }$
並且討論了矩形函數以及三角形函數的傅里葉變換
（第7課）
討論了高斯函數的傅里葉變換，討論了傅里葉變換的對偶性，對偶性對於后面傅里葉變換的計算將會很有幫助
（第8課）
討論了傅里葉變換的時延性，尺度變換，卷積，有助於理解傅里葉變換的本質（時域，頻域變化），而且也有助於后面傅里葉變換的計算
（第9課）
時域上的卷積，就是頻域上的乘積，因此卷積經常被用於濾波，通過卷積引入傅里葉導數定理
$\mathcal{F}(f')(s) = 2\pi is(\mathcal{F} f)(s)$
然后再次討論熱方程
（第10課）
通過傅里葉變換來求解中心極限定理（高斯分布、正態分布）
3. 分布的傅里葉變換 （廣義傅里葉變換）
我們把以上所學的傅里葉變換稱為傳統傅里葉變換，它具有一定的局限性，比如說收斂性的討論，比如說有些函數計算困難，比如說有些函數無法進行傅里葉變換，因此為了解決這類問題我們引入了新的傅里葉變換：分布傅里葉變換。
（第11課）
首先需要知道進行傅里葉變換的最佳函數是什么，通過對傅里葉變換的理解，我們找到了速降函數（Schwartz Function）。
（第12課）
我們把速降函數當作分布傅里葉變換中的測試函數$\varphi$，與之相對應的是分布（廣義函數）$T$，有如下關系
$<T,\varphi>$
這被稱為匹配paring，也就是$T$作用於$\varphi$。
分布的傅里葉在這里引入
$<\mathcal{F}T,\varphi> = <T,\mathcal{F}\varphi>$
意思是分布$T$的傅里葉變換對測試函數$\varphi$的作用跟分布$T$對測試函數$\varphi$的傅里葉變換的作用有相同效果，這意味着我們能通過后面的式子得到分布$T$的傅里葉變換
脈沖函數$\delta$就是一個典型的分布
（第13課）
分布傅里葉變換的一些例子
（第14課）
分布傅里葉變換導數定理，乘積，卷積；引入$\delta$函數的三大性質：
- 采樣特性
- 移位特性
- 縮放特性
這三個特性會在后面的計算時經常用到
4. 傅里葉變換的應用
（第15課）
傅里葉變換與衍射成像的關系
由晶體成像引入了Ш函數，Ш函數由$\delta$函數延伸而來，具有$\delta$函數的所有特性，計算Ш函數傅里葉變換
采樣定理
5. 離散傅里葉變換
（第19課）
離散傅里葉變換是通過對連續函數進行離散抽樣演變而來
（第20課）
離散傅里葉變換的幾個重要特性
- 輸入輸出周期性
- 離散復指數具有正交性
- 索引獨立性
（第21課）
離散傅里葉變換DFT以及離散傅里葉逆變換IDFT矩陣的推導
DFT的對偶性會對計算有很大幫助
（第22課）
快速傅里葉變換FFT是DFT的快速算法
6. 線性系統
（第23課）
- 對線性系統有個概念性的了解，了解它的疊加性原則以及正比例關系
- 離散有限維線性系統都可以用矩陣的乘法進行表達
- 連續無限維線性系統都可以用核函數的積分進行表達
（第24課）
對線性系統輸入脈沖函數，線性系統輸出的結果就是脈沖響應
線性時不變系統是用卷積進行表達的
（第25課）
線性時不變系統的特征值，特征向量/特征函數
7. 高維傅里葉變換
（第26課）
二維傅里葉變換就相當於把一維變量$x$，變成了二維變量$\underline{x}（x_1,x_2）$，我們把這個二維變量看作向量。
原來的乘法$st$也變成內積$\underline{x}\cdot\underline{\xi}=x_1\xi_1+x_2\xi_2$，為什么這么改變，請參考這節課內的深入理解。
高維同理。
（第27課）
討論了某些高維傅里葉變換具有簡捷的運算方法
（第28課）
討論了高維傅里葉變換的移位，尺度變化，這些操作相比一維都具有更高的自由度。高維$\delta$函數具有與一維$\delta$函數相同的特性。
（第29課）
高維Ш函數具有更高的自由度，並計算了Ш的傅里葉變換，二維采樣定理。
（第30課）
拉東變換、醫學圖像成像，傅里葉變換在其中發揮了充分的作用