這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
上節課講到，在對非周期函數進行傅里葉分析時，有
$C_k = \displaystyle{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}dt }$
$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{2\pi i\frac{k}{T}t} }$
我們希望僅讓$T\to \infty$就能得到我們希望的結果：傅里葉變換適用於非周期函數。但結果證明了這樣還不可行，最后得出：對任意$C_k$，都有$C_k \leqslant \frac{M}{T}$，當$T \to \infty \ ,C_k \to 0$。$C_k$跟$T$是成反比例的。
按照這種關系，我們是否能把$T$引入到$C_k$這邊？
新符號$\mathcal{F}$
令
$\displaystyle{\mathcal{F} f(\frac{k}{T}) =C_k \times T = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2\pi i \frac{k}{T}t}f(t)dt }$
即有，
$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F} f(\frac{k}{T})e^{2\pi i\frac{k}{T}t} \frac{1}{T} }$
現在令$T \to \infty$，那么$\frac{k}{T}$的取值范圍為$(\frac{k=-\infty}{T\to \infty},\frac{k=+\infty}{T\to \infty})$，即$(-\infty, +\infty)$。取值間隔為$\frac{1}{T} \to 0$，趨於連續變量。現在用連續變量$s$來表示$\frac{k}{T}$：
$s = \frac{k}{T} \ , –\infty < s < \infty$
$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt }$
由於$\frac{k}{T}$被替換成了連續變量$s$，那么傅里葉級數的多項式會被替換成積分，其中$\frac{1}{T}$為$\bigtriangleup s$，即$ds$
$f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F} f(s)e^{2\pi ist}ds }$
結論（定義）
如果$f(t)$的周期被定義在整個實數域中，即$-\infty < T < \infty$，那么其
傅里葉變換：
$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi ist}f(t)dt }$
傅里葉逆變換：
$f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ist} \mathcal{F} f(s)ds }$
也可以寫作如下形式：
$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi ist}f(t)dt }$
$\mathcal{F}^{-1}g(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ist}g(s)ds }$
符號$\mathcal{F}$代表傅里葉正變換，$\mathcal{F}^{-1}$代表傅里葉逆變換。
傅里葉正變換吧函數分解成連續復指數；傅里葉逆變換把這些連續復指數組合成原函數。
零點的值
$\mathcal{F} f(0) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi i0t}f(t)dt = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt } $
$\mathcal{F}^{-1}g(0) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi is0} g(s)ds = \int_{-\infty}^{\infty}g(s)ds }$
傅里葉變換例子
1. 矩形函數
$\pi (t) =
\left\{\begin{matrix}
1 & \left| t \right| < \frac{1}{2}\\
0 & \left| t \right| \geqslant \frac{1}{2}
\end{matrix}\right.$
傅里葉變換如下：
$\begin{align*}
\mathcal{F} \pi(s)
&= \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}\pi(t)dt } \\
&= \displaystyle{\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}e^{-2\pi ist}dt } \\
&= \left . -\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist} \right |_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \\
&= -\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi is\frac{1}{2}} - (-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi is(-\frac{1}{2})}) \\
&= -\frac{1}{2\pi is}e^{-\pi is} + \frac{1}{2\pi is}e^{\pi is} \\
&= \frac{1}{\pi s}(\frac{e^{\pi is} - e^{-\pi is}}{2i}) \\
&= \frac{1}{\pi s}(\frac{cos(\pi s)+isin(\pi s) - cos(-\pi s) - isin(-\pi s)}{2i}) \\
&= \frac{1}{\pi s}(\frac{2isin(\pi s)}{2i}) \\
&= \frac{sin(\pi s)}{\pi s} \\
&= sinc \ s
\end{align*}$
該函數被稱為$sinc$函數
2. 三角形函數
$\Lambda (t) =
\left\{\begin{matrix}
1 - \left|t\right| & \left|t\right|<1 \\
0 & \left|t\right| \geqslant 1
\end{matrix}\right.$
傅里葉變換如下：
$\begin{align*}\mathcal{F}\Lambda(s)
&= \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}\Lambda(t)dt}\\
&=\displaystyle{\int_{-1}^{0}e^{-2\pi ist}(1+t)dt + \int_{0}^{1}e^{-2\pi ist}(1-t)dt}\\
&=\left(\left.(1+t)(-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist})\right|_{-1}^0-\displaystyle{\int_{-1}^{0}-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist}dt }\right)+\left(\left.(1-t)(-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist})\right|_{0}^1-\displaystyle{\int_{0}^{1}-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist}dt }\right)\\
&=\left(-\frac{1}{2\pi is}-\left. \frac{1}{4\pi^2i^2s^2}e^{-2\pi ist}\right|_{-1}^{0}\right)+\left(\frac{1}{2\pi is}+\left. \frac{1}{4\pi^2i^2s^2}e^{-2\pi ist}\right|_{0}^{1}\right )\\
&=-\left(\frac{1}{-4\pi^2s^2}-\frac{1}{-4\pi^2s^2}e^{2\pi is}\right)+\left(\frac{1}{-4\pi^2s^2}e^{-2\pi is} -\frac{1}{-4\pi^2s^2}\right)\\
&=\frac{-2+cos(2\pi s)+isin(2\pi s)+cos(-2\pi s)+isin(-2\pi s)}{-4\pi^2s^2}\\
&=\frac{-2+2cos(2\pi s)}{-4\pi^2s^2}\\
&=\frac{-4sin^2(\pi s)}{-4\pi^2s^2}\\
&=\frac{sin^2(\pi s)}{(\pi s)^2}\\
&=sinc^2s
\end{align*}$