Part1:傅里葉級數的復數形式
設\(f(x)\)是周期為\(l\)的周期函數,若
\[f(x)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}l+b_n\sin \frac{n\pi x}l),\\ a_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos \frac{n\pi x}l\mathrm dx,(n=0,1,2,\dots)\\ b_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin \frac{n\pi x}l\mathrm dx.(n=1,2,\dots) \]
記\(\omega=\frac{\pi}l\),引進復數形式:
\[\cos n\omega x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}+\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}2,\sin n\omega x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}-\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}{2\mathrm i} \]
級數化為
\[\begin{align} f(x)&\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}+\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}2+b_n\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}-\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}{2\mathrm i})\\ &=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_n-\mathrm ib_n}2\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}+\frac{a_n+\mathrm ib_n}2\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}) \end{align} \]
令\(c_0=\frac{a_0}2,c_n=\frac{a_n-\mathrm ib_n}2,d_n=\frac{a_n+\mathrm ib_n}2\),則
\[\begin{align} c_0&=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm dx,\\ c_n&=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\left(\cos n\omega x-\mathrm i\sin n\omega x\right)\mathrm dx=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}\mathrm dx,\\ d_n&=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\left(\cos n\omega x+\mathrm i\sin n\omega x\right)\mathrm dx=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}\mathrm dx\\ &\triangleq c_{-n}=\bar{c_n},(n=1,2,\dots) \end{align} \]
合並為
\[c_n=\frac{1}{2l}=\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}\mathrm dx,(n\in \Z) \]
級數化為
\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}=\frac{1}{2l}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}\mathrm dx\right]\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x} \]
我們稱\(c_n\)為\(f(x)\)的離散頻譜(discrete spectrum),\(|c_n|\)為\(f(x)\)的離散振幅頻譜(discrete amplitude spectrum),\(\arg c_n\)為\(f(x)\)的離散相位頻譜(discrete phase spectrum).
對任何一個非周期函數\(f(t)\)都可以看成是由某個由某個周期為\(l\)的函數\(f(x)\)當\(l\to\infty\)時得來的.
Part2:傅里葉積分和傅里葉變換
傅里葉積分公式
設\(f_T(t)\)是周期為\(T\)的周期函數,在\([-\frac T2,\frac T2]\)上滿足狄利克雷條件,則
\[f_T(t)=\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t},\omega=\frac{2\pi}T \]
(上式中\(\mathrm j\)是虛數單位,在傅里葉分析中我們不用\(\mathrm i\)而通常記作\(\mathrm j\))由\(\lim\limits_{T\to\infty}f_T(t)=f(t)\)知,
\[f(t)=\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t} \]
記\(\Delta \omega=\frac{2\pi}T\),則\(\Delta\omega\to 0\Leftrightarrow T\to\infty\),則
\[\begin{align} f(t)&=\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t}\\ &=\lim_{\Delta \omega\to 0}\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm jn\omega t}\Delta\omega \end{align} \]
令\(F_T(n\omega)=\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt\),則
\[f(t)=\lim_{\Delta\omega\to 0}\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_T(n\omega)\mathrm{e}^{\mathrm jn\omega t}\Delta\omega,\\ F_T(t)\to \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\triangleq F(\omega)(T\to\infty), \]
由定積分定義\(f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm d\omega\),即
\[\boxed{f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega} \]
上述公式稱為傅里葉積分公式.
傅里葉積分存在定理
若\(f(t)\)在任何有限區間上滿足狄利克雷條件,且在\(\R\)上絕對可積,則
\[\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega= \begin{cases} f(t),t\text{為連續點},\\ \frac{f(t^-)+f(t^+)}2,t\text{為間斷點}. \end{cases} \]
傅里葉變換
設\(f(t)\)滿足傅里葉積分存在定理,定義
\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt \]
為\(f(t)\)的傅里葉變換(Fourier Transform)(實際上是一個實自變量的復值函數),記作
\[F(\omega)=\mathcal{F}\left[f(t)\right] \]
類似地,定義
\[f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega \]
為\(F(\omega)\)的傅里葉逆變換(Inverse Fourier Transform),記作
\[f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right] \]
在一定條件下,有
\[\mathcal{F}\left[f(t)\right]=F(\omega)\Rightarrow\mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right]=f(t);\\ \mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right]=f(t)\Rightarrow\mathcal{F}\left[f(t)\right]=F(\omega). \]
\(f(t)\)與\(F(\omega)\)在傅氏變換意義下是一個一一對應,稱\(f(t)\)與\(F(\omega)\)構成一個傅氏變換對,記作
\[f(t)\overset{\underset{\mathcal{F}}{}}{\leftrightarrow}F(\omega) \]
在不引起混淆的情況下,簡記為\(f(t)\leftrightarrow F(\omega)\).\(f(t)\)稱為原象函數(original image function),\(F(\omega)\)稱為象函數(image function).
在頻譜分析中,\(F(\omega)\)又稱為\(f(t)\)的頻譜(密度)函數(spectrum function),\(|F(\omega)|\)稱為\(f(t)\)的振幅頻譜(amplitude spectrum),\(\arg F(\omega)\)稱為\(f(t)\)的相位頻譜(phase spectrum).
下面我們來求幾個常見信號函數的傅氏變換.
例1 求矩形脈沖函數(rectangular pulse function)
\[R(t)=\begin{cases} 1,|t|\le 1,\\ 0,|t|>1 \end{cases} \]
的傅氏變換及其頻譜積分表達式.
解:
\[\begin{align} F(\omega)&=\mathcal{F}[R(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}R(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt=\int_{-1}^1 R(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm t\\ &=\left[\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}}{-\mathrm j\omega}\right]^1_{-1}\\ &=-\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega}-\mathrm{e}^{\mathrm j\omega}}{\mathrm j\omega}=\frac{2\sin\omega}{\omega};\\ R(t)&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega=\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}F(\omega)\cos\omega t\mathrm d\omega\\ &=\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{2\sin\omega}\omega\cos\omega t\mathrm d\omega=\frac2{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{\sin\omega\cos\omega t}{\omega}\mathrm d\omega\\ &=\begin{cases} 1,|t|<1,\\ \frac12,|t|=1,\\ 0,|t|>1 \end{cases} \end{align} \]
因此可知,當\(t=0\)時,有
\[\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}x\mathrm dt=\frac{\pi}2 \]
例2 求指數衰減函數(exponential decay function)
\[E(t)=\begin{cases} 0,t<0,\\ \mathrm{e}^{-\beta t},t\ge 0 \end{cases} \]
的傅氏變換及其頻譜積分表達式,其中\(\beta>0\)為常數.
解:
\[\begin{align} F(\omega)&=\mathcal{F}[E(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}E(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm dt\\ &=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-\beta t}\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{(\beta+\mathrm j\omega)t}\mathrm dt=\frac1{\beta+\mathrm j\omega}\frac{\beta-\mathrm j\omega}{\beta^2+\omega^2}\\ E(t)&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm \omega=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\beta-\mathrm j\omega}{\beta^2+\omega^2}\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm \omega\\ &=\frac1{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{\beta\cos\omega t+\omega\sin\omega t}{\beta^2+\omega^2}\mathrm d\omega=\begin{cases} 0,t<0,\\ \frac12,t=0,\\ \mathrm{e}^{-\beta t},t>0 \end{cases} \end{align} \]
Part3:單位脈沖函數
我們記電流脈沖函數
\[q(t)=\begin{cases} 0,t\ne 0,\\ 1,t=0, \end{cases} \]
嚴格地,由於\(q(t)\)在\(t=0\)出不連續,所以\(q(t)\)在\(t=0\)點是不可導的.但是,如果我們形式地計算這個導數,有
\[q'(0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{q(0+\Delta t)-q(0)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}-\frac1{\Delta t}=\infty \]
我們引進這樣一個函數,稱為單位脈沖函數(unit pulse function)或狄拉克(Dirac)函數,簡記為\(\delta-\)函數,即
\[\delta(t)=\begin{cases} 0,t\ne 0,\\ \infty,t=0, \end{cases} \]
一般地,給定一個函數序列
\[\delta_{\varepsilon}(t)=\begin{cases} 0,t<0,\\ \frac1{\varepsilon},0\le t\le \varepsilon,\\ 0,t>\varepsilon \end{cases} \]
則有
\[\delta(t)=\lim_{\varepsilon\to 0}\delta_{\varepsilon}(t)=\begin{cases} 0,t\ne 0,\\ \infty,t=0 \end{cases} \]
於是
\[\boxed{ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm dt=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\varepsilon}\mathrm dt=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{0}^{\varepsilon}\frac1{\varepsilon}\mathrm dt=1 } \]
若設\(f(t)\)為連續函數,則\(\delta-\)函數有以下性質:
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)\mathrm dt=f(0);\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)\mathrm dt=f(t_0) \]
於是我們可得:
\[\mathcal{F}[\delta(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm t=\left.\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\right|_{t=0}=1 \]
於是\(\delta(t)\)與常數\(1\)構成了一對傅里葉變換對.
例3: 證明:
\[\mathrm{e}^{\mathrm j\omega_0 t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0) \]
其中\(\omega_0\)是常數.
證:
\[\begin{align} f(t)&=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0)\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\\ &=\left.\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\right|_{\omega=\omega_0}=\mathrm{e}^{\mathrm j\omega_0 t} \end{align} \]
在物理學和工程技術中,有許多重要函數不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件,即不滿足條件
\[\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|\mathrm dt<\infty \]
例如常數,符號函數,單位階躍函數以及正,余弦函數等, 然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈沖函數及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.所謂廣義是相對於古典意義而言的,在廣義意義下,同樣可以說,原象函數\(f(t)\)和象函數\(F(\omega)\)構成一個傅氏變換對.
例 求正弦函數\(f(t)=\sin\omega_0 t\)的傅氏變換.
解:
\[\begin{align} F(\omega)&=\mathcal F[f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{\mathrm{e}^{\mathrm j\omega_0} t-\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega_0 t}}{2\mathrm j}\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\\ &=\frac1{2\mathrm j}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm j(\omega-\omega_0)t}-\mathrm{e}^{-\mathrm j(\omega+\omega_0)t}\right)\mathrm dt\\ &=\mathrm{j}\pi\left[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)\right] \end{align} \]
同樣我們易得
\[\mathcal{F}(\cos \omega_0 t)=\pi\left[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)\right] \]
例 證明:單位階躍函數(unit step function)
\[u(t)=\begin{cases} 0,t<0,\\ 1,t>0 \end{cases} \]
的傅氏變換為
\[\mathcal F[u(t)]=\frac1{\mathrm j\omega}+\pi \delta(\omega) \]
證:
\[\begin{align} \mathcal{F}^{-1}\left[\frac1{\mathrm j\omega}+\pi \delta(\omega)\right]&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac1{\mathrm j\omega}+\pi\delta(\omega)\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\\ &=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\pi\delta(\omega)\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega+\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac1{\mathrm j\omega}\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\\ &=\frac12+\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{\cos\omega t+\mathrm j\sin\omega t}{\mathrm j\omega}\right]\mathrm d\omega\\ &=\frac12+\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{\sin\omega t}{\omega}\right]\mathrm d\omega=\frac12+\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}\left[\frac{\sin\omega t}{\omega}\right]\mathrm d\omega\\ \int_0^{+\infty}\frac{\sin \omega t}{\omega }\mathrm d\omega&=\begin{cases} \frac{\pi}2,t>0,\\ -\frac{\pi}2,t<0 \end{cases}\Rightarrow\\ \mathcal{F}^{-1}\left[\frac1{\mathrm j\omega}+\pi\delta(\omega)\right]&=\begin{cases} \frac12+\frac1{\pi}\left(-\frac{\pi}2\right)=0,t<0\\ \frac12,t=0,\\ \frac12+\frac1{\pi}\left(\frac{\pi}2\right)=1,t>0 \end{cases}=u(t). \end{align} \]