傅里葉變換是用三角函數表示目標函數，傅里葉變換廣泛的應用在信號處理、偏微分方程、熱力學、概率統計等領域：大到天體觀測，小到我們手機中圖片、音頻應用等，沒有傅里葉變換就沒有如今豐富多彩的信息化時代。在人工智能領域中，可利用傅里葉變換證明中心極限定理，而中心極限定理是概率學最重要的基石；傅里葉變換本質是將時域的信息匯總到頻域中，當兩組數據的傅里葉變換結果相同時，稱為兩者依概率收斂。本章介紹傅里葉變換推導過程並結合代碼實現傅里葉變換，按數學推導的離散傅里葉變換算法復雜度較高，本章最后介紹快速傅里葉變換（FFT）的實現原理。
一、傅里葉變換原理
1.1 目標函數f(x)為周期2π的函數
前面的章節中曾用多項式擬合目標函數，傅里葉變換是利用三角函數擬合函數，正弦、余弦函數有以下性質：
(1)
三角函數集合
在[-π,π]可以看成函數空間一組正交基,目標函數f(x)可寫成傅里葉級數：
（1.1）
an、bn都是待定系數，也表示f(x)在正交基上的坐標，(1.1)式兩邊乘以cos mx ，m為一個特定系數坐標，求積分有：
由此可得an:
(1.3)
同樣可得bn:
(1.4)
上面函數f(x)周期為2π，如果f(x)是周期為2T，可用線性仿射將f(x)的定義域x投射到t上，t的周期是2π:
此時有
,
,從上圖可見，Φ(t)是在[-∞,∞]一個周期為2π函數，有：
將轉化為
代入上式可得：
（1.5）
再利用積分求系數an、bn：
（1.6）
1.2 f(x)非周期函數
f(x)不是周期函數時，可理解為f(x)的周期為+∞，不妨先考慮周期為2T函數fT(x)，T為無限大取極限后，可將fT(x)延拓到周期為+∞函數f(x)，先利用歐拉公式將公式(1.5)變為復數形式：
設
公式(1.5)可表示成：
(1.7)
an+ibn和an-ibn是一對共軛復數，幅值相同，相位角在x軸上對稱，設cn=an-ibn,利用公式(1.6)得：
(1.7.1)
cn的共軛
且有：
(1.7.2)
公式1.7中n的取值范圍是從1到無窮，引入cn后n的取值范圍是(-∞,+∞)，1.7式寫成下面的形式：
(1.7.3)
1.7.1代入上式后得到fT(x)：
(1.8)
接下來利用式(1.8)將fT(x)周期延拓至∞可得目標函數f(x):
(1.8.1)
式(1.8.1)代入(1.8)得到f(x)極限形式的函數：
當T為+∞時，
,f(x)此時可表示成積分形式：
（1.9）
上式中
稱為原函數f(x)的傅里葉變換，計算積分過程中ω視為符號常量，積分結果是含自變量ω的函數,傅里葉變換可用下面的表示方式：
（1.10）
而F(f)再經過一次積分后可還原為f(x),這稱為傅里葉逆變換：
f(x)同樣稱為時域函數，比如記錄每天雨量的變化、每小時道路車輛的流量、汽車每年的里程數等，時域函數是日常生活中大量接觸到的函數模型，而1.10式將f(x)經過傅里葉變換后得到是頻域的信息，頻域單位是赫茲，反應出原函數周期性方面的信息，時域與頻域觀察世界視角不同，可以用下圖來加強對兩者的認識。
二、程序實現傅里葉變換
2.1 離散傅里葉變換
代碼中利用式(1.10)的離散形式實現傅里葉變換,設在定義域內選擇N個數據實現f(x)函數離散化，f(x)可表示成：
（2）
如果f(x)表示的是一個信號，所選擇的時間段為一秒即單位時間，那么N稱為采樣頻率，由采樣定理可知，采樣頻率至少是信號最大頻率的2倍，就傅里葉變換而言，采樣頻率最好是2的整數倍，有了這些設定后公式（2）可表示為：
(2.1)
上式用
將單位時間一秒分成N份，在傅里葉變換中也稱歸一化，2.1式中ω代表角速度，通常將角速度處理成頻率形式，頻率h與角速度的關系有：
上式代入2.1后有：
（2.2）
X(h)是單位為赫茲的頻域函數，再回頭看公式1.7.3，參數cn中的n取值范圍是(-∞,+∞),也就是說原公式中是允許有負角速度或者說負頻率存在的，而(2.2)式中n是非負整數，代表着客觀物理世界中沒有所謂的負頻率，這是數學與物理的差異性導致的，(2.2)引入負頻率才能滿足傅里葉變換公式，幸運的是正頻率與負頻率是共軛的關系，即cn與
關系，兩者的幅值是一樣的，傅里葉離散變換的目標是得到每個頻率對應幅值，所以將（2.2）乘以2即可得到與1.7.3式一樣的定義。
(2.3)
下面代碼利用公式2.3實現傅里葉離散變換，目標函數(原始信號)為：
原始信號含有頻率為180、390、600Hz的信號，采用頻率為2048Hz,對應幅值分別為7、1.5、5.1。
import numpy as np
from scipy.fftpack import fft,ifft
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 顯示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 顯示負號
Samplingfq=2048
def loadsignal(N ):
# 采樣點選擇1400個，因為設置的信號頻率分量最高為600Hz，根據采樣定理知采樣頻率要大於信號頻率2倍，所以這里設置采樣頻率為1400Hz（即一秒內有1400個采樣點）
x = np.linspace(0, 1, N)
# 設置需要采樣的信號，頻率分量有180，390和600
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 180 * x) + 1.5 * np.sin(2 * np.pi * 390 * x) + 5.1 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x)
return x,y
def FourierTransform():
x, y = loadsignal(Samplingfq)
ffts=[]
for i in range(Samplingfq):
real=0
imag=0
for t in range(Samplingfq):
real=real+y[t]* np.cos(2*np.pi*i*x[t])*2/Samplingfq
imag=imag+y[t]* np.sin(2*np.pi*i*x[t])*-2/Samplingfq
ffts.append([i,np.sqrt(real**2+imag**2) ])
ffts=np.array(ffts)
plt.subplot(211)
plt.plot(range(int(Samplingfq/2)), ffts[:int(Samplingfq/2),1] , 'b')
plt.title('歸一化單邊', fontsize=10, color='#F08080')
plt.subplot(212)
plt.plot(range(Samplingfq), ffts[:, 1] , 'b')
plt.title('歸一化雙邊', fontsize=10, color='#F08080')
plt.show()
if __name__ == '__main__':
FourierTransform()
for i in range(Samplingfq): real=0 imag=0 for t in range(Samplingfq): real=real+y[t]* np.cos(2*np.pi*i*x[t])*2/Samplingfq imag=imag+y[t]* np.sin(2*np.pi*i*x[t])*-2/Samplingfq
上面代碼片段即為對公式2.3應用，傅里葉離散變換后得到頻率圖如下圖所示：
2.2 快速傅里葉變換FFT
上面的示例程序復雜度是n2,n對應於采樣頻率，當目標函數或原始信號的最大頻率較高時，根據采樣定理，采樣頻率至少為最大頻率的2倍，這就造成n2值非常大，算法復雜度較高影響傅里葉變換的使用，利用快速傅里葉變換(FFT)可將復雜度降至
,隨着采樣頻率的升高，FFT效率提升越來越明顯，FFT是信號傳輸、圖像分析、頻譜分析、數據壓縮最重要的數據算法之一，FFT出現給傅里葉變換帶來了旺盛的生命力。
單位時間內采樣頻率為N，0到N-1之間任意時刻t信號值用x(t)表示，2.3式用下式表示：
(2.4)
上式中k代表0到N-1之間任意一個頻率，且有0<=k<N-1,引入一個新的符號變量：
是單位圓xN=1的一個根，有以下性質：
利用歐拉公式、三角函數周期性即可證明這兩個性質,引入后2.4式可寫為：
(2.5)
X(k)內含一個N-1次多項式，系數是x(0)、x(1)、x(2)....x(N-1) ,針對該多項式有以下性質：
在引入另外兩個多項式A1(x)、A2(x)：
三者之間關系為：
(2.6)
把代入到2.6式中，並結合自身的性質，當k<N/2時有：
(2.6.1)
k+N/2代入2.6.1式有：
(2.6.2)
由式2.6.1和式2.6.2可知，得到
后，即可知道
值，而再經過簡單處理后即可得到傅里葉變換后的值:
(2.7)
下面以一個簡單信號為例，在單位時間內采樣頻率為8，8個采樣點信號分別為0,1,2,3,4,5,6,7。對這組信號采用快速傅里葉變換有以下過程。簡單起見，下圖中數值即代表信號編號也代表信號的數值大小：
以求
為例，
,可分解為:
這個分解對應於樹狀圖的第一層，其中
對應系數是0、2、4、6，
對應的系數是1、3、5、7；可以理解為一個新的傅里葉變換：
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