傅里葉級數很容易理解，而傅里葉變換抽象許多。
傅里葉變換的目的在於，將圖像從spatial domain變換到frequency domain。這樣就能處理圖像中特定頻率的信息，並且可以通過傅里葉逆變換還原。
- 第一個角度
來自知乎回答，答主寫得非常好，以下全文引用。
傅里葉變換就是除法.
首先通過一個簡單的例子來看除法是如何實現變換的：
假設只存在五元和二元硬幣，現在有人告訴你他有九塊錢，你想知道他有什么硬幣。這是一個從錢數到硬幣個數的變換。（這里有個問題五元和二元不是正交基，只是方便理解）
9/5 =1余4 --> 包含一個5
4/2=2余0 --> 包含兩個2
你立刻就知道他有一個（強度）五元（頻率）和兩個（強度）二元（頻率）。
看，成功從金錢域變換到了硬幣域。
傅里葉變換公式的這個寫法非常的坑爹，好好的除法非要在指數上加負號！這就是所有不解的來源！
一切誤會和不解的來源。
如果這樣寫：
這才是正確的寫法，其中分母是頻率為ω的圓周運動：
這就是頻率為ω的圓周運動。
然后傅里葉變換就是在用除法求在f(t)中有多少頻率為ω的圓周運動，然后把它們加起來，得到f(t)中所有頻率ω的分布函數。
總結一下，通過積分，我們把t消除，得到了關於頻率的函數，這也就是所有頻率的分布函數。完美！
- 第二個角度，來自3b1b。
e^{-iwt} 可以看作在復平面上，以原點為中心，半徑為1的一個圓的旋轉，旋轉的速度或者說，周期由wt決定。而寫成wt，則是把t分離出來，w代表了wt/t。wt從0到2π代表旋轉了一圈。
而Ce^{-iwt}代表把這個圓半徑乘上C，就代表點到原點距離隨着t也會改變。那么實際上我們有三個變量，復平面兩個再加上t一個。這個時候可以把t拉上到z軸，我們得到了一個曲線，所以復平面上的點是曲線上某點在xy軸上的投影。
待分離頻率的函數 f(t)e^{-iwt} 在w確定的情況下，正無窮到負無窮積分，得到的是曲線（不是螺旋，螺旋是C=常數時）在x軸上的投影。積t的分相當於投影到復平面XOY，而積分限關於t=0，x=0對稱消去了虛部，也就是說我們實際上投影了兩次，第一次在復平面上投影，第二次再把結果投影到x軸上。
- 第三個角度：
我們從傅里葉級數來看，一個連續無周期函數可以被分離成頻率分布函數的積分，y軸是權值。如果是離散的，那么就是若干個頻率的函數加權求和的結果。而這些函數之間兩兩正交，那么得到這些函數的分布就很簡單，乘以本身再積分就能得到權值。那么我們觀察傅里葉變換公式，也是一個意思，想得到某個頻率F(w)，那么就用原函數f(t)乘以對應的頻率，再求積分。這個乘以對應角度2的旋轉，積分對應角度2的求質心在x軸上的投影坐標。
- 補充：
實函數表示為傅里葉級數，傅里葉級數本身不包括虛數分量部分，它是角度2里面，旋轉曲線在復平面投影的圓的實部，也就是圓的x軸投影。要用歐拉公式統一表示就會擴展到虛數部分，然后為了消去虛數部分，本身1到N的求和就變成了-N到N。變換到積分就是+無窮到-無窮，這樣的話，y軸的分量就會完全抵消，也就是說虛部就消失了。（這里隱含的意思是，這個曲線的虛部y軸，關於t=0這個平面奇對稱，也就是說幅度一樣，方向相反。往上曲線旋轉的方向和往下是相反的，這也可以通過歐拉公式得出。另外也可以通過：實函數的FT結果，實部是偶函數，虛部是奇函數，那么兩邊累加，奇函數相互抵消了）
- 最后總結：
傅里葉變換精確地還原出了原函數的頻譜分布。
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連續函數傅里葉變換：對原函數有限時長的采樣導致頻譜取值范圍無限，除非有限時間內正好得到了原函數的整數個周期（前提是原函數是周期函數，並且是band-limited）。因為連續不可導的兩個邊沿需要無窮多個頻率分量來擬合。
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DFT：對原函數采樣的頻率越高，頻譜的取值范圍就越大，這個可以用采樣定理理解。采樣時間越長，頻譜的精度越高。這個和前面這部分對稱的。