1. 非周期信號的表示：連續時間傅里葉變換
為了對傅里葉變換的實質進行更深入的了解，我們先從一個連續時間周期方波的傅里葉級數表示着手。即，在一個周期內
\[x(t) = \begin{cases} 1, & \text |t| < T_1 \\ 0, & \text T_1 < |t| < T/2 \end{cases}\]
以周期 \(T\) 周期重復，如下圖所示。
該方波信號的傅里葉級數系數 \(a_k\) 是
\[\tag{1}a_k = \frac{2sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0T} \]
式中 \(\omega_0 = 2\pi/T\)。
理解（1） 式的另一種方式是把它當作一個包絡函數的樣本，即
\[\tag{2}Ta_k = \frac{2sin\omega T_1}{\omega}\lvert _{\omega=k\omega_0} \]
這就是，若將 \(\omega\) 看作一個連續變量，則函數 $ {(2sin\omega T_1)}/{\omega}$ 就代表 \(Ta_k\) 的包絡，這些系數就是在此包絡上等間隔取得的樣本。而且，若 \(T_1\) 固定，則 \(Ta_k\) 的包絡就與 \(T\) 無關，如下圖所示。
從該圖可以看出，隨着 \(T\) 增加，該包絡就被以愈來愈密集的間隔采樣。隨着 \(T\) 變得任意大，原來的周期方波就趨近於一個矩形脈沖（也就是說，在時域保留下的是一個非周期信號，它對應於原方波的一個周期）。
與此同時，傅里葉級數（乘以 \(T\) 后）作為包絡上的樣本也變得愈來愈密集，這從某種意義上來說，隨着 \(T\to \infty\)，傅里葉級數就趨近於這個包絡函數。
這個例子說明了對非周期信號建立傅里葉表示的基本思想，可以把非周期信號當作一個周期任意大的極限來看待。
現在我們來考慮一個信號 \(x(t)\)，它具有有限持續期 \(2T_1\)，從這個周期信號出發，可以構成一個周期信號 \(\tilde x(t)\)，使 \(x(t)\) 就是 \(\tilde x(t)\) 的一個周期。當把 \(T\) 選的比較大時，\(x(t)\) 就在一個更長的時段上與 \(\tilde x(t)\) 相一致，並且隨着 \(T\to \infty\)，對任意有限時間值 \(t\) 而言，\(\tilde x(t)\) 就等於 \(x(t)\)。
在這種情況下，我們考慮將 \(\tilde x(t)\) 表示成傅里葉級數，將積分區間選為 \(-T/2 \leqslant t \leqslant T/2\)。
\[\tag{3}\tilde x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t} \]
\[\tag{4}a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde x(t)e^{-jk\omega_0t}dt \]
式中 \(\omega_0=2\pi / T\)，由於在 \(|t|< T/2\) 內，\(\tilde x(t)=x(t)\)，而在其余地方，\(x(t)=0\)，所以（4）式可以重新寫為
\[\tag{5}a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt \]
因此，定義 \(Ta_k\) 的包絡 \(X(j\omega)\) 為
\[\tag{6}X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt \]
這時候，系數 \(a_k\) 可以寫為
\[\tag{7}a_k = \frac{1}{T}X(jk\omega_0) \]
將（3） 和 （7）結合在一起，\(\tilde x(t)\) 就可以用表示為
\[\tag{8}\tilde x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0 \]
隨着 \(T\to \infty\)，\(\tilde x(t)\) 趨近於 \(x(t)\)，式（8）的極限就變成 \(x(t)\) 的表達式。再者，當 \(T\to \infty\) 時，有 \(\omega_0\to 0\)，式（8）的右邊就過渡為一個積分。
右邊的每一項都可以看作是高度為 \(X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\) 寬度為 \(\omega_0\) 的矩形的面積。式（8）和式（6）就分別變成
\[\tag{9}\boxed{ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega} \]
\[\tag{10}\boxed{X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt} \]
（9）式和 （10）式被稱為傅里葉變換對。函數 \(X(j\omega)\) 稱為 \(X(t)\) 的傅里葉變換或傅里葉積分，也通常被稱為頻譜，而 （9）式稱為傅里葉反變換式。
sinc 函數通常所用的形式為
\[\tag{11} sinc(\theta)=\frac{sin\pi\theta}{\pi\theta} \]
2. 周期信號的傅里葉變換
考慮一個信號 \(x(t)\)，其傅里葉變換 \(X(j\omega)\) 是一個面積為 \(2\pi\)，出現在 \(\omega = \omega_0\)處的單獨的一個沖激，即
\[\tag{12} X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega-\omega_0) \]
為了求出與 \(X(j\omega)\) 對應的 \(x(t)\)，可以應用式（9）的反變換公式得到
\[\tag{13}x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} 2\pi\delta(\omega-\omega_0)e^{j\omega t}d\omega=e^{j\omega_0 t} \]
將上面的結果再加以推廣，如果 \(X(j\omega)\) 是在頻率上等間隔的一組沖激函數的線性組合，即
\[\tag{14} X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0) \]
那么利用式（9），可得
\[\tag{15} x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0 t} \]
可以看出，式（15）就是一個周期信號所給出的傅里葉級數表示。因此，一個傅里葉級數系數為 \(\{a_k\}\) 的周期信號的傅里葉變換，可以看成是出現在成諧波關系的頻率上的一串沖激函數，發生於第 \(k\) 次諧波頻率 \(k\omega_0\) 上的沖激函數的面積是第 \(k\) 個傅里葉級數系數 \(a_k\) 的 \({2\pi}\) 倍。
3. 連續時間傅里葉變換性質
為了方便，我們將 \(x(t)\) 和 \(X(j\omega)\) 這一對傅里葉變換用下列符號表示
\[x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega) \]
3.1. 線性
若
\[x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega) \]
和
\[y(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(j\omega) \]
則
\[\tag{16} \boxed{ ax(t)+by(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX(j\omega)+bY(j\omega)} \]
3.2. 時移性質
若
\[x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega) \]
則
\[\tag{17} \boxed{ x(t-t_0) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega t_0}X(j\omega)} \]
這個性質說明：信號在時間上移位，並不改變它的傅里葉變換的模。
3.3. 共軛及共軛對稱性
若
\[x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega) \]
則
\[\tag{18} \boxed{ x^*(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(-j\omega)} \]
共軛性質就能證明，若 \(x(t)\) 為實函數，那么 \(X(j\omega)\) 就具有共軛對稱性，即
\[\tag{19} \boxed{ X(-j\omega) = X^*(j\omega) \qquad [x(t) 為實]} \]
這就是說，傅里葉變換的實部是頻率的偶函數，而虛部則是頻率的奇函數。
3.4. 微分和積分
\[\tag{20} \boxed{ \frac{dx(t)}{dt} \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\omega X(j\omega)} \]
\[\tag{21} \boxed{ \int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1} {j\omega} X(j\omega)+\pi X(0)\delta(\omega)}\]
3.5. 時間與頻率的尺度變換
若
\[x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega) \]
\[\tag{22} \boxed{ x(at) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega}{a})} \]
若令 \(a=-1\)，則有
\[\tag{23} \boxed{ x(-t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(-j\omega)} \]
3.6. 對偶性
3.7. 帕斯瓦爾定理
若
\[x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega) \]
則
\[\tag{24} \boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(j\omega)|^2d\omega } \]
3.8. 卷積性質
\[\tag{25} \boxed{y(t)=h(t)*x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)}\]
兩個信號在時域內的卷積就等於它們傅里葉變換的乘積。
3.9. 相乘性質
\[\tag{27} \boxed{r(t)=s(t)p(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} R(j\omega)=\frac{1}{2\pi}[S(j\omega)*P(j\omega)]} \]
兩個信號在時域內的相乘就對應於頻域內的卷積。
4. 傅里葉變換性質和基本傅里葉變化列表
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