1. 連續時間的傅里葉變換
1.1. 周期信號的傅里葉級數 CTFS
1.1.1. 展開的條件
在正余弦信號集和虛指數信號集上可以精准正交分解的信號 \(f(t)\) 應滿足 Dirichlet 條件（狄利克雷條件）:
- 在一個周期內，\(f(t)\) 絕對可積，即 \(\displaystyle \int_{t_0}^{t_0+T}|f(t)|dt < \infty\)
- 在一個周期內，\(f(t)\) 只能有有有限個極大值或極小值
- 在一個周期內，\(f(t)\) 只能有有限個間斷點且不能是瑕點（函數值為無窮）
1.1.2. 計算公式
三角形式的傅里葉級數
【注意】
- 基頻 \(\Omega = 2\pi / T\)
- 對於三角形式的傅里葉級數，\(n\) 只能取正整數
- 三角形式的傅里葉級數也稱為單邊譜，\(a_n\)，\(b_n\) 與單邊譜 \(F_n\) 多了個系數 2
指數形式的傅里葉級數
【注意】
- 指數形式的傅里葉級數也稱為的單邊譜，\(n\) 取任意整數
- \(F_n\) 一般是個復數 \(F_n = |F_n| e^{j\phi_n}\)
三角形式或指數形式傅里葉變換的關系
1.1.3. 周期信號的頻譜分析
波形對稱性與諧波特性的關系
-
周期偶信號
對於三角形式的傅里葉級數，只存在余弦項 \(a_n\)；
對於指數形式的傅里葉級數，\(F_n\) 為純實數；
反推亦成立！ -
周期奇信號
對於三角形式的傅里葉級數，只存在正弦項 \(b_n\)；
對於指數新式的傅里葉級數，\(F_n\) 為純虛數；
反推亦成立！ -
奇諧信號
奇諧信號是指信號平移半個周期 \(T/2\) 后，與原信號相加為0的信號，即 \(f(t) + f(t \pm T) = 0\)；
奇諧信號的的傅里葉級數只含有奇次諧波項；
反推亦成立！ -
偶諧信號
偶諧信號是指信號平移半個周期 \(T/2\) 后，與原信號相同的信號，即 \(f(t) = f(t + \frac{T}{2})\)；
奇諧信號的傅里葉級數只含有由此諧波項；
反推亦成立！
【例】
| 偶信號+奇諧信號 | 奇信號+奇諧信號 | 奇諧信號 |
|---|---|---|
 |
 |
 |
頻譜結構與波形參數的關系
時域越寬，頻域越窄，典型的例子就是“直流信號的頻譜是單位沖激，單位沖激的頻譜是直流”；
對於周期信號，周期越大，譜線間的間隔 \(\Omega = 2\pi/ T\) 越小；
周期信號的平均功率
上式為功率有限信號的巴什瓦等式，其物理意義：周期信號的平均功率等於直流分量及各次諧波平均功率之和（能量守恆）。
1.2. 非周期信號的傅里葉變換 CTFT
1.2.1. 計算公式
1.2.2. 性質
-
唯一性
信號和頻譜是一一對應的。
-
線性
\[f_1(t) \leftrightarrow F_1(jw), f_2(t) \leftrightarrow F_2(jw)\\ af_1(t) + bf_2(t) \leftrightarrow aF_1(jw) + bF_2(jw) \] -
奇偶不變性
傅里葉變化不改變信號的奇偶性，即\(F(jw)\)與\(f(t)\)的奇偶性是相同的。
-
共軛特性
\[f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ f^*(t) \leftrightarrow F^*(-jw) \]寫成相量的形式，即
\[F(jw) = |F(jw)| e^{j \varphi (w)} \\ F(-jw) = |F(-jw)| e^{j \varphi (-w)} \\ F^*(-jw) = |F(-jw)| e^{- j \varphi (-w)} \]如果\(f(t)\)是實信號，則\(f(t) = f^*(t)\)，再由傅里葉的唯一性，則\(F(jw) = F^*(-jw)\)。所以：實信號幅度雙邊譜是偶函數，相位雙邊譜是奇函數，即
\[|F(jw)| = |F(-jw)| \\ j\varphi (w) = - j\varphi (-w) \]所以實偶信號的頻譜為實偶函數，實奇信號的頻譜為虛奇函數。
-
對稱性
\[f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ F(jt) \leftrightarrow 2\pi f(- \omega) \]經典應用： \(Sa(w_c t)\)的頻譜；\(f(t) = 1\)`的頻譜。
-
時域展縮性
\[f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ f(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(j\frac{w}{a}) \] -
時移，頻移特性
時移特性 對應信號的延遲，不改變幅頻特性。
\[f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ f(t - t_0) \leftrightarrow F(jw)e^{-jwt_0} \]頻移特性 頻移體現了調制、解調、變頻等信號操作。
\[f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ f(t)e^{jw_0t} \leftrightarrow F[j(w - w_0)] \]【易錯點】
- 時移的相位符號，記住延遲后的相位總是落后（所以是減而不是加）與原信號
- 頻移的頻率符號，由於調制后的信號增加了頻率，因此頻譜整體向右/高頻（所以是減而不是加）移動
【例】
\[\delta(t - t_0);\\ G_\tau (t - \frac{\tau}{2});\\ e^{jw_0 t};\\ cos(w_0 t) = \frac{1}{2}(e^{jw_0t} + e^{-jw_0t});\\ sin(w_0 t) = \frac{1}{2j}(e^{jw_0t} - e^{-jw_0t});\\ \] -
時域 / 頻域微分特性
時域微分特性
\[f(t) \leftrightarrow F(jw)\\ \frac{\mathrm{d} f(t)}{\mathrm{dt}} \leftrightarrow jw F(jw)\\ \frac{\mathrm{d^n} f(t)}{\mathrm{dt^n}} \leftrightarrow (jw)^n F(jw) \]頻域微分特性
\[f(t) \leftrightarrow F(jw)\\ (-t)f(t) \leftrightarrow \frac{\mathrm{d}F(jw)}{\mathrm{d(jw)}}\\ tf(t) \leftrightarrow j \frac{\mathrm{d}F(jw)}{\mathrm{dw}}\\ t^nf(t) \leftrightarrow j^n \frac{\mathrm{d^n}}{\mathrm{dw^n}}F(jw) \]【說明】
- 時域的微分運算可以轉換為頻域的乘法運算，乘法因子為 \(jw\)
- 頻域的微分運算可以轉換為時域的乘法運算，乘法因子為 \(-t\)，注意的頻域的微分運算是對 \(jw\)的求導
- 冪函數和沖激函數、求導運算很有關聯，類似 \(t^n\) 、\((jw)^n\)、\(\delta^{(n)}(t)\)、\(\delta^{(n)}(w)\)
【例】
\[1 \leftrightarrow 2\pi \delta(w) \Rightarrow t \times 1 \leftrightarrow j \times 2\pi \delta^{'}(w) \Rightarrow 2\pi \delta(w)\\ u(t) \leftrightarrow \pi\delta(w) + \frac{1}{jw} \Rightarrow tu(t) \leftrightarrow j(\pi \delta^{'}(w) - \frac{1}{jw^2}) \Rightarrow j\pi \delta^{'}(w) - \frac{1}{w^2}\\ sgn(t) \leftrightarrow \frac{2}{jw} \Rightarrow |t| = t sgn(t) \leftrightarrow j(\frac{2}{jw})^{'} = - \frac{2}{w^2}\\ e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a + jw} \Rightarrow te^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{(a + jw)^2} \]【易錯題】
已知 \(f(t) \leftrightarrow F(jw)\)，求 \((-t)f(-t)\) 的傅里葉變換?
正解：\[\begin{aligned} tf(t) &\leftrightarrow j\frac{dF(jw)}{dw}\\ -tf(-t) &\leftrightarrow j\frac{dF(-jw)}{d(-w)} = -j\frac{dF(-jw)}{d(w)} \end{aligned} \]錯解：
\[\begin{aligned} tf(t) &\leftrightarrow j\frac{dF(jw)}{dw}\\ -tf(-t) &\leftrightarrow j\frac{dF(-jw)}{dw} = j\frac{dF(-jw)}{dw} \end{aligned} \]設 \(g(t) = tf(t)\)，則 \(g(-t)=(-t)f(-t)\)，根據時域展縮特性應該有 \(g(t)\leftrightarrow G(jw)\)，\(g(-t)\leftrightarrow G(-jw)\)，對於微分運算若有\(f(t)=\frac{dg(t)}{dt}\)，則\(f(2t)=\frac{dg(2t)}{d(2t)}\)（推導戳我），所以第一種解法是正確的。
-
時域 / 頻域卷積定理
\[f_1(t) * f_2(t) \leftrightarrow F_1(jw)F_2(jw)\\ f_1(t)\cdot f_2(t) \leftrightarrow \frac{1}{2 \pi} F_1(jw) * F_2(jw) \]【注】 頻域卷積定理勿忘 \(\frac{1}{2\pi}\)
-
時域積分定理
\[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau \leftrightarrow \frac{F(jw)}{jw} + \pi F(0)\delta(w)，其中F(0) = F(jw)|_{w = 0} = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt \]可以理解為 \(f(t)\) 經過一個積分器，即
\[f(t) * u(t) \leftrightarrow F(jw) \cdot (\frac{1}{jw} + \pi \delta(w)) \] -
能量有限的巴什瓦等式
\[\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(jw)|^2 dw \]【注】 請勿忘 \(\frac{1}{2\pi}\)
1.2.3. 常見的傅里葉變換對
- 半邊指數信號
- 矩形脈沖信號
- 沖激信號
- 單位直流信號
- 階躍信號
- 符號信號\(sgn(t)\)
- 對稱的雙邊指數信號
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1.3. 周期信號的傅里葉變換
1.3.1. 公式推導
周期信號的傅里葉變換為一系列沖激函數的線性組合，沖激的發生在各次諧波頻率上，強度為相應諧波分量復振幅的 \(2\pi\) 倍。
令 \(F_{_T}(t)\) 的傅里葉變換為 \(F_{_T}(jw)\)，則
周期函數還可以表示為
其中，\(\displaystyle\delta_{_T}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT)\)，且 \(\mathscr{F}[\delta_T(t)]=\Omega \delta_{_\Omega}(w)\)，則周期信號的傅里葉變換還可以表示為
【說明】
-
在時域上將 \(f(t)\) 的波形進行以 \(T\) 為周期的延拓，等效於在頻域上對其頻譜進行以 \(\Omega = \frac{2\pi}{T}\) 為周期的等距離采樣。
-
為做區分，將周期信號的傅里葉級數記為 \(a_k\)，則其傅里葉變換的關系為 \(a_k = \frac{1}{T} F(jk\frac{2\pi}{T})\)
1.3.2. 將周期信號進行時域壓縮擴展
設 \(f(t)\) 為周期為 \(T_1\) 的周期信號，傅里葉變換為\(F(jw)\)；
對 \(f(t)\) 進行時域的擴展為 \(f(2t)\)，顯然它也是一個周期信號，但周期變為 \(T_2=\frac{T_1}{2}\) （關鍵）；
則 \(f(2t)\) 的傅里葉變換為 \(F_2(jw) = \frac{w}{2}F(j\frac{w}{2})\)
考慮時域壓縮前后的傅里葉級數：
兩者竟然是一致的！這說明不同周期信號可能對應同一傅里葉級數。