之前學習計算機視覺，雖然敲了不少代碼，但一直沒弄懂傅里葉變換以及圖像濾波背后的數學含義，只能對着現成的公式照葫蘆畫瓢，讓我內心覺得深深的不安。好在通過這段時間在華為的實習，惡補了一下數字信號處理相關的基礎知識，總算是把這方面的坑給填上了。以下為這幾天的學習成果，也就是我自己對傅里葉變換的理解。
這篇博文的前三段解釋了一些比較基礎的概念，對理解傅里葉變換有幫助。
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一、離散時間信號
要弄懂離散時間信號的傅里葉變換，首先要弄清楚什么是信號，而什么又是離散時間信號。（雖然感覺像是廢話，可作為一個軟件工程的童鞋我一開始對這些東西真的沒概念啊T_T）
所謂信號，其實就是包含一個或多個變量的函數，舉幾個例子：語音信號可以表示為聲壓隨時間變化的函數，黑白照片可以表示為亮度隨二維空間坐標變化的函數。（此段內容來自於奧本海姆的《信號與系統》）
所謂離散時間信號，又名數字信號，它是由數字序列表示的離散函數 {x[n]}, -∞<n<+∞，其中 n 為整數。一般情況下，為了方便起見，我們常將 {x[n]} 簡寫為 x[n] 。常見的離散時間信號有：
①單位取樣序列：
②單位越階序列：
③矩形序列：
（以上內容來自於華中科大的教材《數字信號處理》）
二、離散時間系統
在弄懂離散時間信號的傅里葉變換之前，我們還要弄清楚一個概念：離散時間系統。
所謂離散時間系統，就是把輸入的離散序列 x[n] 映射成輸出序列 y[n] 的唯一變換，用 T[] 表示。
其中，滿足線性疊加原理的系統被稱為線性系統，即：
① T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
若系統的響應與輸入信號施加於系統的時刻n無關，則稱其為非移變系統，即：若有
② T[x(n)] = y(n)，則有T[x(n-k)] = y(n-k)
同時滿足以上兩個條件的系統被稱為線性非移變系統。
三、卷積
相信學習過計算機視覺的同學對這個詞一定不會陌生，卷積是線性非移變系統的特性，定義如下：
設 T[] 為線性非移變系統，當輸入為單位取樣序列 δ[n] 時，定義輸出 
（其中，三角形下帶一個等號的符號表示“定義為”），h[n] 稱為單位取樣響應（或單位沖激響應），對於任意的 x[n] ，下列等式成立：
而這個等式，就被稱為離散卷積（或線性卷積）。（上式的推導利用了單位取樣序列只在 0 點處取 1 的特性。）
顯而易見的，任何線性非移變系統都可以通過它的單位取樣響應 h[n] 來表示，而且輸入 x[n] 與輸出 y[n] 滿足離散卷積關系，表示為 y[n] = x[n] * h[n] 。
離散卷積滿足以下的運算規律：
①交換律： x[n] * h[n] = h[n] * x[n]
②結合律： x[n] * h1[n] * h2[n] = x[n] * ( h1[n] * h2[n] )
③分配律：x[n] * ( h1[n] + h2[n] ) = x[n] * h1[n] + x[n] * h2[n]
四、傅里葉變換
下面開始進入正題，說說什么是傅里葉變換。
傅里葉說：任何周期函數都可以表示為不同頻率的正弦函數sin(ωix + φi)疊加的形式，其中每個正弦函數都具有不同的系數 Ai，式中的 ωi 為頻率。
根據這句話，我們可以把傅里葉變換推廣到非周期函數上：非周期函數可以被看成具有無窮大周期的周期函數，因此可以表示為無限個不同頻率的正弦函數疊加的形式，而每個正弦函數所對應的系數都趨近於無窮小（注意：這些趨近於無窮小的系數是不相等的）。當定義中提到的函數是一個離散時間信號時（而正如我在前面所提到的，信號就是函數），它的傅里葉變換詳細表示如下：
此外，傅里葉變換還存在逆變換：
式中的 X(ejω) 是一個以 2π 為周期的連續函數，它被稱為信號的頻域函數，而信號的原函數 x[n] 被稱為時域函數（此時，默認信號以時間作為橫坐標，當橫坐標為空間坐標時，原函數被稱為空域函數）。其中，ejω = cosω + jsinω，j = √(-1)， ω 為頻率。
傅里葉變換的函數圖像被稱為傅里葉頻譜，它的橫坐標是傅里葉變換所分離出正弦信號的歸一化頻率 ω ，縱坐標是當前頻率正弦信號的幅度 X(ejω) 。
在傅里葉頻譜中，橫坐標 ω 接近 0 的部分被稱作低頻信號，對應了原信號 x[n] 中變化緩慢的成分（根據傅里葉逆變換公式，原函數 x[n] 為 X(ejω)ejωn 關於 ω 的積分，而之前說過，X(ejω) 是 ejω 的加權系數，與 n 的取值無關，在這里可以暫時忽略。因為 ejωn = cosωn + jsinωn，這也就意味着 ω 越小，ejωn 的周期越大，當 ω 無限趨近於 0 時，可以將 ejωn 看做是一條水平直線，此時 X(ejω) 的值越大，說明 ejωn 在原函數中所占的比重越大，也就是原函數 x[n] 越接近於一條直線，即變化程度越小。）；相反地，橫坐標 ω 很大的部分被稱作高頻信號，對應了原信號 x[n] 中變化劇烈的成分。
簡單來理解， X(ejω)就是傅里葉變換中的系數Ai，也就是頻域函數的縱坐標Y；ejωn就是傅里葉變換中的sin(ωix + φi)，其中 ω是頻域函數的橫坐標X。
花了兩個晚上總算寫完了，話說用word碼公式還真是累啊。。。_(:3> ∠)__