1. 離散時間傅里葉變換的導出
針對離散時間非周期序列，為了建立它的傅里葉變換表示，我們將采用與連續情況下完全類似的步驟進行。
考慮某一序列 \(x[n]\)，它具有有限持續期；也就是說，對於某個整數 \(N_1\) 和 \(N_2\)，在 $ -N_1 \leqslant N \leqslant N_2$ 以外，\(x[n]=0\)。下圖給出了這種類型的一個信號。
由這個非周期信號可以構成一個周期序列 \(\tilde x[n]\)，使 \(x[n]\) 就是 \(\tilde x[n]\) 的一個周期。隨着 \(N\) 的增大，\(x[n]\) 就在一個更長的時間間隔內與 \(\tilde x[n]\) 相一致。而當 \(N\to \infty\)，對任意有限時間值 \(n\) 而言，有 \(\tilde x[n]=x[n]\)。
現在我們來考慮一下 \(\tilde x[n]\) 的傅里葉級數表示式
\[\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n} \]
\[\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} \]
因為在 $ -N_1 \leqslant N \leqslant N_2$ 區間的一個周期上 \(\tilde x[n]=x[n]\)，因此我們將上式的求和區間就選在這個周期上
\[\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} \]
現定義函數
\[\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n} \]
可見這些系數 \(a_k\) 正比於 \(X(e^{j\omega})\) 的各樣本值，即
\[\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0}) \]
式中，\(\omega_0=2\pi/N\) 用來記作在頻域中的樣本間隔。將（1） 和 （5）結合在一起，\(\tilde x[n]\) 就可以表示為
\[\tag{6}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)} \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=(N)} X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}\omega_0 \]
隨着 \(N\to \infty\)，\(\tilde x[n]\) 趨近於 \(x[n]\)，式（6）的極限就變成 \(x[n]\) 的表達式。再者，當 \(N\to \infty\) 時，有 \(\omega_0\to 0\)，式（6）的右邊就過渡為一個積分。
右邊的每一項都可以看作是高度為 \(X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}\) 寬度為 \(\omega_0\) 的矩形的面積。而且，因為這個求和是在 \(N\) 個 \(\omega_0=2\pi/N\) 的間隔內完成的，所以總的積分區間總是有一個 \(2\pi\) 的寬度。式（6）和式（4）就分別變成
\[\tag{7}\boxed{ x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega} \]
\[\tag{8}\boxed{X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}} \]
（7）式和 （8）式被稱為離散時間傅里葉變換對。函數 \(X(j\omega)\) 稱為 \(X(t)\) 的離散時間傅里葉變換，也通常被稱為頻譜。
-
例 1
-
例 2
2. 周期信號的傅里葉變換
考慮如下信號
\[\tag{9} x[n] = e^{j\omega_0 n} \]
其傅里葉變換是如下的沖激串
\[\tag{10}X(e^{j\omega}) = \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l) \]
為了驗證該式，必須求出其對應的反變換
\[\tag{11} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l) e^{j\omega n}d\omega \]
注意，在任意一個長度為 \(2\pi\) 的積分區間內，在上式的和中真正包括的只有一個沖激，因此，如果所選的積分區間包含在 \(\omega_0+2\pi r\) 處的沖激，那么
\[\tag{12} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = e^{j(\omega_0+2\pi r) n} = e^{j\omega_0 n} \]
現在考慮一周期序列 \(x[n]\)，周期為 \(N\)，其傅里葉級數為
\[\tag{13} x[n] = \sum_{k=(N)} a_k e^{jk(2\pi/N)n} \]
這時，傅里葉變換就是
\[\tag{14} X(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {2\pi} a_k \delta (\omega-\frac{2\pi k}{N}) =\sum_{l=-\infty}^{+\infty} \sum_{k=(N)}{2\pi} a_k \delta (\omega - k\omega_0 - 2\pi l) \]
這樣，一個周期信號的傅里葉變換就能直接從它的傅里葉級數系數得到。
3. 離散時間傅里葉變換性質
為了方便，我們將 \(x[n]\) 和 \(X(e^{j\omega})\) 這一對傅里葉變換用下列符號表示
\[x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) \]
3.1. 離散時間傅里葉變換的周期性
\[\tag{15} \boxed{ X(e^{j(\omega+2\pi)}) = X(e^{j\omega})} \]
3.2. 線性
若
\[x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_1(e^{j\omega}) \]
和
\[x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_2(e^{j\omega}) \]
則
\[\tag{16} \boxed{ ax_1[n]+bx_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX_1(e^{j\omega})+bX_2(e^{j\omega})} \]
3.3. 時移與頻移性質
若
\[x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) \]
則
\[\tag{17} \boxed{ x[n-n_0] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})} \]
\[\tag{18} \boxed{ e^{j\omega_0 n}x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j(\omega-\omega_0)})} \]
3.4. 共軛及共軛對稱性
若
\[x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) \]
則
\[\tag{19} \boxed{ x^*[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(e^{-j\omega})} \]
共軛性質就能證明，若 \(x(t)\) 為實函數，那么 \(X(j\omega)\) 就具有共軛對稱性，即
\[\tag{20} \boxed{ X(e^{j\omega}) = X^*(e^{-j\omega}) \qquad [x[n] 為實]} \]
這就是說，離散傅里葉變換的實部是頻率的偶函數，而虛部則是頻率的奇函數。
3.5. 差分與累加
\[\tag{21} \boxed{ x[n]-x[n-1] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} (1-e^{-j\omega}) X(e^{j\omega})} \]
\[\tag{22} \boxed{ \sum_{m=-\infty}^{n}x[m] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{1-e^{-j\omega}} X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0}) \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2\pi k)} \]
3.6. 時間反轉
\[\tag{23} \boxed{ x[-n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{-j\omega})} \]
3.7. 時域擴展
若令 是一個正整數，並且定義
\[\tag{24} x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[n/k] &\text 當\space n \space為\space k\space的整數倍 \\ 0, &\text 當\space n \space不為\space k\space的整數倍 \end{cases}\]
\[\tag{25} \boxed{ x_{(k)}[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{jk\omega})} \]
3.8. 頻域微分
\[\tag{26} \boxed{nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega} } \]
3.9. 帕斯瓦爾定理
\[\tag{27} \boxed{\sum_{-\infty}^{+\infty}|\space x[n] \space |^2 =\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega } \]
3.10. 卷積性質
\[\tag{28} \boxed{y[n]=h[n]*x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})} \]
兩個信號在時域內的卷積就等於它們傅里葉變換的乘積。
3.11. 相乘性質
\[\tag{29} \boxed{y[n]=x_1[n]x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(\omega-\theta)})d\theta} \]
兩個信號在時域內的相乘就對應於頻域內的周期卷積。
4. 傅里葉變換性質和基本傅里葉變化列表
5. 離散時間傅里葉變換和連續時間傅里葉級數之間的對偶型
獲取更多精彩，請關注「seniusen」!
