一、功能
計算復序列的離散傅里葉變換（DFT）和離散傅里葉反變換（IDFT）。
二、方法簡介
序列\(x(n)(n=0,1,...,N-1)\)的離散傅里葉變換定義為
\[X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi nk}{N}} \]
設\(x(n)=a(n)+jb(n),X(k)=A(k)+jB(k),Q=2\pi/N\)，則上式變為
\[A(k)+jB(k)=\sum_{n=0}^{N-1}[a(n)+jb(n)][cos(Qnk)-jsin(Qnk)] \]
即
\[\begin{matrix}A(k)=\sum_{n=0}^{N-1}[a(n)cos(Qnk)+b(n)sin(Qnk)]\\ B(k)=\sum_{n=0}^{N-1}[b(n)cos(Qnk)-a(n)sin(Qnk)]\end{matrix} \]
序列\(X(k)\)的離散傅里葉反變換定義為
\[x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_{N}^{-nk}, \qquad n=0,1,...,N-1 \]
它與離散傅里葉正變換的區別在於將\(W_N\)改變為\(W_N^{-1}\)，並多了一個除以\(N\)的運算。計算公式如下
\[\begin{matrix}a(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}[A(k)cos(Qnk)-B(k)sin(Qnk)]\\ b(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}[B(k)cos(Qnk)+A(k)sin(Qnk)]\end{matrix} \]
三、使用說明
是用C語言實現離散傅里葉變換（DFT）的方法如下：
/************************************
x ---一維數組，長度為n，存放要變換數據的實部。
y ---一維數組，長度為n，存放要變換數據的虛部。
a ---一維數組，長度為n，存放變換結果的虛部。
b ---一維數組，長度為n，存放變換結果的虛部。
n ---數據長度。
sign ---當sign=1時，子函數計算離散傅里葉正變換；當sign=-1時，子函數計算離散傅里葉反變換
************************************/
#include "math.h"
void dft(double *x, double *y, double *a, double *b, int n, int sign)
{
int i;
int k;
double c;
double d;
double q;
double w;
double s;
q = 6.28318530718 / n;
for(k = 0; k < n; k++) {
w = k * q;
a[k] = 0.0;
b[k] = 0.0;
for(i = 0; i < n; i++) {
d = i * w;
c = cos(d);
s = sin(d) * sign;
a[k] += c * x[i] + s * y[i];
b[k] += c * y[i] - s * x[i];
}
}
if(sign == -1) {
c = 1.0 / n;
for(k = 0; k < n; k++) {
a[k] = c * a[k];
b[k] = c * b[k];
}
}
}