1 一維與二維離散傅里葉變換
以周期 
對函數 f(t) 采樣可表示為 
，
對采樣函數進行傅里葉變換得 
，
整理得 
。
由於對函數 f(t) 的采樣周期為 ，采樣函數的傅里葉變換的一個完整周期為 
，
同樣的，
也是采樣函數的傅里葉變換的一個完整周期，只是這個周期不是以原點對稱的。
在 區間中取 M 個點，則第 m 個點的頻率為 
，
帶入公式得 
，
其中，
為連續函數 f(t) 對應的 M 個離散值，
為取樣函數 
的傅里葉變換對應的 M 個離散值，
整理公式得 
（由於函數僅在 [0,M-1] 上有非零值，故真實求和區間為 [0,M-1]）。
因此，一維離散傅里葉變換對為 
，
。
類似的，二維離散傅里葉變換對為 
，
。
2 傅里葉變換的性質
1）傅里葉變換平移特性 
，
用指數項乘以 f(t) 使得傅里葉變換后原點移動到 
處，
使用負指數乘以 
使得反傅里葉變換后原點移動到 
處，證明如下：
，
使用 
替換 
得 
，
因此有 
，類似推導可得 
。
將平移特性擴展到二維離散變量上有 
。
2）離散傅里葉變換一定具有周期特性，因為離散傅里葉變換的頻率取值在 區間內，有限頻率導致必然具有周期性，
連續傅里葉變換頻率取值為無窮大，所以連續傅里葉變換一般不具有周期性（但也有所有頻率都一樣的函數）。
離散傅里葉變換周期性可表示為 
。
觀察公式 或 ，
發現頻率取值在 之間，而一個完整的頻率應該在 之間，如下圖：
如果直接應用公式進行傅里葉變換，得到的頻率為 [0,M-1]區間，這是兩個半周期組成的一個周期。
在圖像中則表現為低頻信號分布在4個角落，這顯然不便於觀察頻率信息。
結合傅里葉變換的平移特性，可以將原函數乘以一個正指數項，使得平移后傅里葉變換再 [0,M-1]區間正好是一個完整的周期。
將原函數平移 M/2 可以實現該目標，具體分析如下：
原函數平移 M/2 得 
，
由於 x 為非負整數，
,
最終得到 
。
對於二維離散變量有相似結論 
。
3）原函數（二維及以上）旋轉一定角度，其傅里葉變換也旋轉對應角度。
令 
為原函數變量的列向量，
為傅里葉變換函數變量的列向量，對 
的傅里葉變換可表示為
，
對 旋轉一定角度可表示為 
，其中 R 為旋轉矩陣，
對 
的傅里葉變換可表示為 
，
由 
得 
，並將其帶入上式得 
，
由於 
，
因此 
，使得傅里葉變換旋轉相應角度。
4）傅里葉變換具有對稱性，對於二維圖像來說，由於圖像值為實數，其傅里葉變換具有共軛對稱性。
，
由於 f(x,y) 為取值為實數，因此 
。
在將傅里葉級數從三角函數轉換為指數函數過程中，通過分析指數函數系數組成部分，可以知道傅里葉級數的共軛對稱性。
而傅里葉變換是傅里葉級數在周期無限大情況下的極限表示，因此，傅里葉變換也應該滿足共軛對稱性。
3 圖像上簡單應用
1）由於離散傅里葉變換的平移與周期特性，在傅里葉變換乘以 
可將頻譜中心化。
由於頻譜變化范圍很廣（在不同數量級），為了便於觀察頻譜信息，在可視化之前一般對頻譜進行取對數處理，如 
。
2）由於傅里葉變換的共軛對稱性，在求解圖像傅里葉變換時，只需要求解四分之一頻譜信息，其他部分可通過共軛對稱推導而來。
3）圖像頻譜可表示為 
，其中，
為傅里葉變換幅度， 
為傅里葉變換頻譜。
將傅里葉變換信息拆分為幅度信息與頻譜信息，幅度信息表征了圖像亮度特征，頻譜信息表征了圖像形狀特征。
令 
，然后進行反傅里葉變換得到只包含形狀的圖像。
令 
，然后進行反傅里葉變換得到只包含亮度的圖像。
4）當圖像前景平移時，根據 可知，其傅里葉變換不發生改變。
5）當圖像前景旋轉時，根據 可知，其傅里葉變換進行相應旋轉。
參考資料 Digital Image Processing Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods