信號與系統04 離散時間傅里葉變換

1. 離散時間傅里葉變換

• 1. 離散時間傅里葉變換
  • 1.1. 周期序列的離散傅里葉級數 DFS
    • 1.1.1. 計算公式
    • 1.1.2. 離散傅里葉級數的性質
  • 1.2. 離散時間傅里葉變換 DTFT
    • 1.2.1. 計算公式
    • 1.2.2. 性質
      • 1.2.2.1. 唯一性
      • 1.2.2.2. 奇偶不變性
      • 1.2.2.3. 周期性
      • 1.2.2.4. 線性
      • 1.2.2.5. 共軛對稱性
      • 1.2.2.6. 時移、頻移特性
      • 1.2.2.7. 尺度變換特性
      • 1.2.2.8. 差分、求和特性
      • 1.2.2.9. 頻域微分特性
      • 1.2.2.10. 卷積特性
      • 1.2.2.11. 巴什瓦定律
  • 1.3. 周期序列的離散時間傅里葉變換
  • 1.4. 常見的離散時間傅里葉變換對
    • 1.4.1. 單邊指數序列
    • 1.4.2. 單位采樣序列
    • 1.4.3. 直流信號
    • 1.4.4. 周期樣本序列
  • 1.5. 小結

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1.1. 周期序列的離散傅里葉級數 DFS

連續時間周期信號可以表示成一系列復指數信號的線性加權之和（\(FS\)），離散的周期序列也可以表示成傅里葉級數的形式。

1.1.1. 計算公式

設離散周期序列 \(x[n]\) 的周期為 \(N\)，則基頻為 \(\Omega_0 = \frac{2\pi}{N}\)，傅里葉系數對為：

\[\begin{aligned} X[k] &= \frac{1}{N} \sum_{n=<N>} x[n] e^{-j\Omega_0 kn}\\ x[n] &= \sum_{k=<N>} X[k] e^{j\Omega_0 kn} \end{aligned} \]

1.1.2. 離散傅里葉級數的性質

與連續時間周期信號相比，離散周期序列的傅里葉級數有以下區別：

• 有限性。\(x[n]\) 的傅里葉系數 \(X[k]\) 是有限的，為 \(N\) 項，而連續時間的周期信號傅里葉系數一般是無限的；
• 周期性。\(X[k]\) 具有周期性，周期為 \(N\)，因此任取一個周期內(\(k\in[k_0, k_0+N-1]\))的傅里葉級數，都可以唯一確定原來的序列。
• 不存在收斂問題。不同於連續時間傅里葉級數，任何一個離散周期序列均可以通過有限項的傅里葉級數來表示，因此不存在收斂問題，也不存在吉伯斯現象。

產生與連續時間信號傅里葉級數不同的原因是：離散復指數信號的周期性，頻率相差 \(2\pi\) 的離散復指數信號是相同，因此對於 \(e^{j\Omega_0 k n}\) 只有 \(N\) 個不同的諧波分量。

\[e^{j\Omega_0 (k+N) n} = e^{j\Omega_0 k n} \]

1.2. 離散時間傅里葉變換 DTFT

1.2.1. 計算公式

\[\begin{aligned} X(e^{j\Omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-jn\Omega}\\ x[n] &= \frac{1}{2\pi} \int_{<2\pi>} X(e^{j\Omega}) e^{jn\Omega} d \Omega \end{aligned} \]

其中，\(X(e^{j\Omega})e^{jn\Omega}\) 是周期函數，周期為 \(2\pi\)，所以積分區間可以是任意長度為 \(2\pi\) 的區間。

推導過程：

1. 非周期序列 \(x[n]\) 可以等效為一個周期無限長的周期序列 \(\tilde{x}[n]\)。\(x[n]\) 相當於 \(\tilde{x}[n]\) 的一個周期，當周期 \(N\) 越大的時候，\(\tilde{x}(n)\) 有更大的一部分與 \(x[n]\) 等效，即

\[x[n] = \lim_{N \to +\infty} \tilde{x}[n] \]

2. 對周期序列 \(\tilde{x}[n]\) 進行傅里葉級數展開，即

   \[\tilde{X}[k] = \frac{1}{N} \sum_{n=<N>} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \]

   考慮到 \(x[n]\) 的非零區間為 \([-N_1,N_1]\)，可以令在此區間的傅里葉級數的包絡為

   \[X(e^{j\Omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-jn\Omega} \]

   傅里葉系數與包絡的關系為

   \[X[k] = \frac{1}{N} X(e^{j\Omega}) |_{\Omega = k\Omega_0} \]

3. 周期信號可以表示為包絡的等間隔采樣，即

   \[ \begin{aligned} \tilde{x}[n] &= \sum_{k=<N>} \frac{1}{N} X(e^{k\Omega_0}) e^{j\Omega_0 kn}\\ &= \frac{1}{2\pi} \sum_{k=<N>} X(e^{k\Omega_0}) e^{j\Omega_0 kn} \Omega_0 \end{aligned} \]

4. 當周期 \(N \to +\infty\) 時，有\(\tilde{x}[n] \to x[n]\)，\(\Omega_0 \to 0\)，則求和中的每一項表示的物理意義是一個寬度為 \(\Omega_0\)，高度為 \(X(k\Omega_0) e^{j\Omega_0 kn}\) 的矩形的面積。根據微積分的定義，可以將其改寫為積分的形式。總共有 \(N\) 個寬度為 \(\Omega_0\) 的矩形，所以最終的積分區間為 \(N \times \Omega_0 = 2\pi\)，

   \[x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{<2\pi>} X(e^{j\Omega}) e^{j\Omega n} d\Omega \]

收斂條件：

1. 上面的推導雖然是有限長的序列的情況，但對於某些的無限長的序列也是成立的。
2. 要求序列必須絕對可和或者序列的能量是有限的（有限長的序列都滿足，無限長的必須滿足此條件）
   \[\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x[n]| < \infty, \quad \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x[n]|^2 < \infty \]

1.2.2. 性質

1.2.2.1. 唯一性

序列與離散時間的傅里葉變換是一一對應的。

1.2.2.2. 奇偶不變性

離散時間傅里葉變換不改變奇偶性，即奇序列的離散時間傅里葉變換仍是奇函數，偶序列的離散時間傅里葉變換仍是偶函數。

1.2.2.3. 周期性

• \(X(e^{j\Omega})\) 是一個周期函數，周期為 \(2\pi\)，\(X(e^{j\Omega}) = X(e^{\Omega + 2\pi})\)；
• 靠近 \(\pi\) 的奇數倍為信號的高頻部分；
• 靠近 \(\pi\) 的偶數倍為信號的低頻部分。

1.2.2.4. 線性

\[ax_1[n] + bx_2[n] \leftrightarrow aX_1(e^{j\Omega}) + bX_2(e^{j\Omega}) \]

1.2.2.5. 共軛對稱性

\[x^*[n] \leftrightarrow X^*(e^{-j\Omega}) \]

• 信號的偶分量 \(x_e[n]\) 對應 \(\mathrm{Re}[X(e^{j\Omega})]\)；
• 信號的奇分量 \(x_o[n]\) 對應 \(\mathrm{Im}[X(e^{j\Omega})]\)；
• 如果 \(x[n]\) 為實信號，則 \(X(e^{j\Omega})\) 是共軛對稱函數（實部為偶，虛部為奇/幅度為偶，相位為奇），實部就相當於 \(X(e^{j\Omega})\) 的偶分量，虛部就相當於 \(X(e^{j\Omega})\) 的奇分量。（特別注意，前提條件是實序列）
• 根據奇偶不變性，若 \(x[n]\) 為實偶序列，則 \(X(e^{\Omega})\) 只存在為偶分量的實部；若 \(x[n]\) 為實奇序列，則 \(X(e^{\Omega})\) 只存在為奇分量的虛部；

1.2.2.6. 時移、頻移特性

• 時移特性

  \[x[n - n_0] \leftrightarrow X(e^{j\Omega}) e^{-j\Omega n_0} \]

• 頻移特性

  \[x[n] e^{j\Omega_0 n} \leftrightarrow X(e^{j(\Omega - \Omega_0)}) \]

1.2.2.7. 尺度變換特性

離散序列的時間尺度的變換定義為：（要求 \(k\) 是一個正整數）

\[x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[n/k]&, n 是 k 的倍數\\ 0 &, 其他 \end{cases} \]

例如：\(k=3\)，相當於在原序列的每項之間插\((3-1)\)個0，則在頻域上傅里葉變換被壓縮了，

\[x_{(k)}[n] \leftrightarrow X(e^{jk\Omega}), \quad k\ge1 \]

【例】
已知序列 \(x[n] = \delta[n+1] + \delta[n-1]\)，可以分別求得:

\[\begin{aligned} x[n] &\leftrightarrow 2\cos \Omega\\ x_{(2)}[n] &\leftrightarrow 2\cos (2\Omega)\\ x_{(3)}[n] &\leftrightarrow 2\cos (3\Omega)\\ \end{aligned} \]

【注意】

• 時域擴展后，頻域是被壓縮了，但是幅度是沒發生變換，因為插 0 不會丟失原信號的信息，不會改變序列的總能量；
• \(k\) 必須是正整數，上式才成立。若 \(k < 1\) 例如 \(k = 1/2\)，相當於從原序列中每隔一個元素抽取一個元素組成一個新的序列，與原序列相比是丟失很多信息的，例如：計算 \(X_k(e^{j\Omega})\) 的過程就是一個累加的過程，顯然，抽取之后參與累加的元素變少了，抽取后的傅里葉函數至少在幅度上會發生變化，故上式是不成立的。

1.2.2.8. 差分、求和特性

后向差分特性

\[\triangledown x[n] = x[n] - x[n-1] \leftrightarrow (1-e^{-j\Omega}) X(e^{j\Omega}) \]

求和特性

\[\sum_{k=-\infty}^{n} x[k] \leftrightarrow \frac{1}{1-e^{-j\Omega}} X(e^{jw}) + \pi X(0) \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\Omega - 2\pi k) \]

其中，\(X(0)\) 是 \(x[n]\) 的直流分量，即 \(X(0) = \sum_{k} x[k]\).

1.2.2.9. 頻域微分特性

\[(-n) x[n] \leftrightarrow \frac{d X(e^{j\Omega})}{d (j\Omega)}\\ n x[n] \leftrightarrow j\frac{d X(e^{j\Omega})}{dw} \]

頻域的微分運算可以轉化為時域的乘法運算，因子為 \(-n\).

1.2.2.10. 卷積特性

• 時域卷積特性

\[x[n] * y[n] \leftrightarrow X(e^{j\Omega}) Y(e^{j\Omega}) \]

• 頻域卷積特性

  \[x[n] y[n] \leftrightarrow \frac{1}{2\pi} X(e^{j\Omega}) \circledast Y(e^{j\Omega}) = \frac{1}{2\pi} \int_{<2\pi>} X(e^{j\eta}) Y(e^{j\Omega-j\eta}) d \eta \]

  其中, \(\circledast\) 表示周期卷積。

  頻域卷積有兩個重要的應用：

  • 調制，對信號的頻譜進行搬移；
  • 加窗，對時域信號進行截斷，濾波等。

1.2.2.11. 巴什瓦定律

\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x[n]|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{<2\pi>} |X(e^{j\Omega})|^2 d\Omega \]

1.3. 周期序列的離散時間傅里葉變換

周期序列的離散時間傅里葉變換有兩種推導方式：

• 傅里葉級數展開
• 時域卷積

再推導之前，給出以下離散時間傅里葉變換對：

\[\begin{aligned} e^{j\Omega_0 n} &\leftrightarrow 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \Omega_0 - 2\pi k)\\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta[n-kN] &\leftrightarrow \Omega_0 \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - k\Omega_0) \end{aligned} \]

利用傅里葉級數的推導過程

周期序列可以用傅里葉技術表示，即

\[\begin{aligned} \tilde{x}[n] &= \sum_{k=<N>} X[k] e^{j\frac{2\pi}{N}kn}\\ &\leftrightarrow \sum_{k=<N>} 2\pi X[k] \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \frac{2\pi}{N}k - 2\pi m)\\ &= 2\pi X[0] \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - 2\pi m) \\ &\quad + 2\pi X[1] \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \frac{2\pi}{N} - 2\pi m)\\ &\quad + 2\pi X[2] \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \frac{2\pi}{N}\cdot 2 - 2\pi m)\\ &\quad \cdots\\ &\quad + 2\pi X[N-1] \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \frac{2\pi}{N}\cdot (N-1) - 2\pi m)\\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2\pi X[k] \delta(\Omega - \frac{2\pi}{N}k) \end{aligned} \]

利用時域卷積性質的推導過程

同連續時間信號類似，周期序列 \(\tilde{x}[n]\) 可由非周期序列 \(x[n]\) 進行周期延拓得到，即

\[\tilde{x}[n] = x[n] * \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta[n-kN] \]

根據時域卷積特性，有

\[\tilde{X}(e^{j\Omega}) \leftrightarrow X(e^{j\Omega}) \cdot \Omega_0 \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - k\Omega_0) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \Omega_0 X(e^{j\Omega_0}) \delta(\Omega - k\Omega_0) \]

傅里葉級數與離散時間傅里葉變換的關系為：\(X[k] = \frac{1}{N}X(e^{j\frac{2\pi}{N}k})\)，兩種推導的方式的最終結果是一致的。

對於周期序列，其離散時間傅里葉變換為一系列的沖激函數，也是一個周期函數。在一個周期內，每個沖激的幅度為該諧波分量傅里葉級數的 \(2\pi\) 倍。

1.4. 常見的離散時間傅里葉變換對

離散時間傅里葉變換的計算實際上就是計算等比數列的求和問題。

在實際中，離散時間傅里葉變換用得比較少，\(z\) 變換比較多些。

下面給出在求系統響應時常見的變換對：

1.4.1. 單邊指數序列

\[a^{n} u[n] \leftrightarrow \frac{1}{1-ae^{-j\Omega}},\quad |a|<1 \]

1.4.2. 單位采樣序列

\[\delta[n] \leftrightarrow 1\\ \delta[n-n_0] \leftrightarrow e^{-j\Omega n_0} \]

1.4.3. 直流信號

\[1 \leftrightarrow 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - 2\pi k)\\ e^{j\Omega_0 n} \leftrightarrow 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \Omega_0 - 2\pi k) \]

1.4.4. 周期樣本序列

\[\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta[n-kN] \leftrightarrow \Omega_0 \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - k\Omega_0) \]

直流信號和周期樣本序列不能或難以根據定義式求出，其推導過程利用了連續時間采樣的一些知識。

1.5. 小結

• 時域的離散性對應了頻域的周期性（非周期離散序列的離散時間傅里葉變換為周期連續函數）
• 時域的周期性對應了頻域的離散性（周期離散序列的離散時間傅里葉變換為周期的離散沖激族）
• 與連續時間傅里葉變換相比的相同點：唯一性，線性，奇偶不變性，共軛特性，時移頻移特性，頻域微分特性，時域卷積
• 與連續時間傅里葉變換相比的不相同點：
  • 周期性：離散時間傅里葉變換為周期函數
  • 時域展縮：序列時域上只能“展”（插0），不能“縮”（抽樣）。對於連續時間為 \(f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|} f(\frac{t}{a})\)，而離散時間為 \(x_{(a)}[n] \leftrightarrow X(e^{ja\Omega})\)
  • 頻域卷積特性：離散時間序列對應的是周期卷積
  • 巴什瓦定律：頻域的能量的積分區間長度為 \(2\pi\)