1. 傅里葉級數
1.1 特征函數
上篇我們已經知道，LIT系統可以由單位沖激響應\(h(t)\)完全表征，且\(x(t)\)在系統的輸出函數是\(x(t)*h(t)\)。這個結論是分析LIT系統的基礎理論，甚至我們可以認為，LIT系統至此已經被完全解析了。但不要忘記，解析信號系統的目的，最終是為了分析信號或系統的特性、設計特定系統以處理信號。所以下一步就是要建立分析信號或系統的方法，並搞清系統對信號產生的根本性影響。單位沖激響應\(h(t)\)可視為系統的“固有信號”，所以接下來“信號”就是我們要面對的關鍵對象。
信號千變萬化，一套完備的“特征”，一般要求它們互相獨立、又能完整地表征對象。對待實變量函數，一種典型的思路是建立完備的“特征函數系”，特征函數之間有一定獨立性，而任何函數可以被“特征系數”唯一表征。另外LIT是一個線性系統，在線性問題中有一個普遍而有效的思路，它非常類似於線性變換的特征向量理論。就獨立性而言，我們希望“特征函數”\(x(t)\)的系統輸出有簡單的格式\(K(x(t))\cdot x(t)\)。
為了找到特征函數，我們得回到系統的表征函數\(\int h(\tau)x(t-\tau)\text{d}\tau\)中去。由其形式特點並聯想到指數函數的特性，不難發現指數函數\(e^{st}\)滿足式（1），以后我們把這樣的函數稱為LIT系統的特征函數。其中\(H(s)\)僅由系統和\(s\)決定，它是\(e^{st}\)經過系統后的“特征系數”，也被稱為系統的特征值。值得提醒的是，\(s\)是在復數域的。復指數函數的一般形式是\(z^t\)，但以\(e\)為低的復數表示更便於指數、導數等運算，故這里用\(e^s\)表示復數\(z\)。回顧復數的知識，\(s=\sigma+j\omega\)，其中\(e^\sigma\geqslant 0\)是\(z\)的模，\(\omega\)是\(z\)的輻角（順時針為正向）。
\[e^{st}\to H(s)e^{st},\,(s\in\Bbb{C}),\;\;H(s)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-s\tau}\,\text{d}\tau\tag{1}\]
1.2 三角基波
特征函數有很多，下面就要挑選合適的做“特征函數系”。當\(\sigma\ne 0\)時，\(e^{st}\)的范數\(e^{\sigma t}\)是無界的，使用起來比較棘手。這里先設\(\sigma=0\)，純虛數指數函數（式（2））將構成我們需要的特征函數系（也叫基波）。函數值\(e^{j\omega t}\)隨\(t\)在單位圓上做圓周運動，\(\omega\)是運動的角速度（弧度），運動的周期即為\(2\pi/|\omega|\)。教材里一般把\(\omega\)稱為基波頻率，而真實的頻率其實是\(|\omega|/2\pi\)，請注意區分。
\[e^{\text{j}\omega t}=\cos\omega t+j\sin\omega t,\,(\omega\in\Bbb{R});\;\;T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}\tag{2}\]
\(e^{j\omega t}\)的實部、虛部都是正弦函數（這里不區分正余弦），正弦函數級數的性質已經被深入研究，用它們做基波是很方便的分析工具。傅里葉分析的早期研究對象，就是各種三角級數的收斂性。然而\(e^{j\omega t}\)才是三角函數更本質的形式，而且使用起來更加方便，所以今后我們都用復指數函數作為基波。復數域比實數域完備，所以復數運算更加方便自由，在純數學上，不會因為一個概念“不夠直觀”而忽視它的價值。另外，系統的特征值\(H(j\omega)\)又被稱為頻率響應，它由沖激響應\(h(t)\)所決定，后面將會看到它們的密切關系。
1.3 傅里葉級數
由於最早研究的函數分解就是三角函數級數，所以分解的對象也限定在了周期函數上。設函數\(x(t)\)的周期為\(T\)，角速度為\(\omega_0\)，傅里葉級數將它分解為基波頻率為\(k\omega_0,(k\in\Bbb{Z})\)的純虛指數函數的級數（式（3）左）。為了求得系數\(a_k\)，可以利用\(\{e^{j\omega t}\}\)對積分運算的“正交性”，驗證可有式（3）右成立。式（3）就是傅里葉級數（FS）的完整表達式了，一般記作\(x(t)\overset{FS}\leftrightarrow a_k\)，其中\(a_k\)也稱為FS的頻譜系數。
\[x(t)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}a_ke^{jk\omega_0 t},\;a_k=\dfrac{1}{T}\int_Tx(\tau)e^{-jk\omega_0\tau}\,\text{d}\tau\tag{3}\]
當然式（3）不是對所有周期函數都成立，狄利克雷條件給出了存在傅里葉級數的充分條件：（1）\(x(t)\)絕對可積；（2）周期內只有有限個起伏；（3）周期內只有有限個不連續點。這個條件包含了非常大范圍的函數，因此它有着很廣泛的實用價值。值得提醒的是，在不連續點\(t_0\)處，傅里葉級數收斂於\([x(t_0^-)+x(t_0^+)]/2\)，但在個別點的誤差並不影響FS成為有力的分析工具。從表達式還能知道，相近的兩個函數的頻譜系數也是相近的，所以頻譜系數具有一定“穩定性”。分解級數和積分式不一定存在，但如果一個式子存在，另一個式子也必然是存在的，且都具有唯一性。用帶入證明會遇到根本性的困難，我們只能到傅里葉分析里找答案。
第一次面對FS的結論時，我們不禁想問：這個分解為什么會成立？它有沒有更直觀的解釋？我想這樣闡述（瞎說）FS的本質：函數就是一個隨時間不斷變化的量，這個“變化”可以從宏觀到微觀去依次去量化。就拿三角級數（4）來說，常數項\(a_0\)度量了\(x(t)\)相對0值的平均變化，去除\(a_0\)后\(a_1\)繼續度量每半邊的平均變化（左右相等但符號相反，使用三角函數可統一系數），然后再繼續度量半邊的兩個半邊，以此類推。顯然中心對稱的函數都可以做基波，但唯有三角函數簡單且有很好的分析性質。
\[x(t)=a_0+a_1\sin\omega_0 t+a_2\sin2\omega_0 t\tag{4}\]
2. 傅里葉變換
2.1 傅里葉變換
傅里葉級數有着明顯的局限性，最顯然的就是它只適用於周期函數，而且如果把頻譜系數作為函數的唯一表征，還必須限定在某個周期下。另一個缺陷不太明顯但很重要，就是FS的頻譜是不連續的，這限制了處理信號的范圍。為了得到一般函數\(x(t)\)的頻譜，先以\(t=0\)為中心截取長度為\(T\)的片段，然后展開成周期函數\(\tilde{x}(t)\)。對它做FS可以得到式（5），其中\(\{Ta_k\}\)是函數\(X(j\omega)\)上的等間隔點。
\[Ta_k=X(jk\omega_0),\;\;X(j\omega)=\int_Tx(t)e^{-j\omega t}\,\text{d}t\tag{5}\]
隨着\(T\)逐漸增大直至無窮，\(\tilde{x}(t)\)變成\(x(t)\)，\(\{Ta_k\}\)也越發密集直至完全變成函數\(X(j\omega)\)（這當然不是嚴格的數學證明，但也不失為一個好的直觀闡述）。從離散到連續的變化中，\(\omega_0\)變成微分\(\text{d}\omega\)，\(a_k\)則變成了\(\dfrac{1}{2\pi}X(j\omega)\,\text{d}\omega\)（因為\(T=2\pi/\omega\)）。最終（連加變成積分）\(\tilde{x}(t)\)的FS也變成了\(x(t)\)的傅里葉變換（FT，式（6）），一般記作\(x(t)\overset{F}\leftrightarrow X(j\omega)\)，其中\(X(j\omega)\)還是稱為頻譜系數。
\[x(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}\,\text{d}\omega;\;\;X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,\text{d}t\tag{6}\]
傅里葉變換也有對應的狄利克雷條件，只需把FS中的“周期內”改成“有限區間內”即可（以下把左式叫分解式、右式叫變換式）。狄利克雷條件是FT積分（處處）收斂的的充分非必要條件，在該條件下的分解式、變換式都是非奇異的。但在奇異函數的概念下，這些積分可以在更大的范圍內“存在”，比如\(\delta(t)\)的FT是\(1\)，但分解式顯然不收斂。所以這里要強調，傅里葉變換的存在性是比收斂性更寬泛的概念，數學上已經證明：分解式、變換式是同時存在的，且互相具有唯一性。
公式（6）說明了，函數和頻譜系數是互相確定的，\(\{e^{j\omega t}\}\)是一個完備的特征函數系。頻譜系數可以完全表征一個函數，它一般被稱為函數的頻域特征，相對而言函數自身則是時域特征。時域、頻域是分析信號或系統的兩個角度，它們在不同的場景下有各自的長處。對於系統的沖激函數\(h(t)\)，從式(1)可知，頻率響應函數\(H(j\omega)\)就是\(h(t)\)的傅里葉變換。也就是說，\(h(t),H(j\omega)\)分別是系統的時域、頻域表征（后者也被稱為系統函數），兩者對系統分析都至關重要。
狄利克雷條件是FT收斂的充分而非必要條件，鑒於FS和FT的關系，下面來討論怎樣把FS納入FT中去。其實FT的頻譜系數\(X(j\omega)\)是不同基波的“密度”函數，\(e^{j\omega t}\)在分解中的“份量”是\(\dfrac{1}{2\pi}X(j\omega)\,\text{d}\omega\)。反觀FS的頻譜系數\(a_k\)，\(e^{jk\omega_0}\)提供的“份量”就是\(a_k\)，它在FT中的“密度”應當是\(2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)\)。綜合便有了FS的FT格式（式（7）），它其實就是周期函數的傅里葉變換。
\[X(j\omega)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)\tag{7}\]
2.2 拉普拉斯變換
傅里葉變換的收斂性對函數有一定要求，比如函數一定要是有界的，這將限制對很多信號和系統的討論。尤其在做系統的定性分析時，我們希望面對一個更大的系統空間進行系統設計。另一方面，LIT的特征函數\(e^{st}\)中的\(s\)可取遍整個復數域，而FT的基波\(e^{j\omega t}\)僅僅是\(s=\sigma+j\omega\)取虛軸而建立的函數系。為了研究用一般的\(e^{st}\)為基波的分解，可以考慮在FT兩邊同時乘上函數\(e^{\sigma t}\)（式（8）），其中\(\sigma\)是一個定值。
\[x(t)e^{\sigma t}=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{(\sigma+j\omega)t}\,\text{d}\omega\tag{8}\]
式（8）其實就是\(x(t)e^{\sigma t}\)在函數系\(\{e^{(\sigma+j\omega)t}\}\)下的分解，由於\(\sigma\)是一個定值，\(s\)取在某條跟虛軸平行的直線上。一般地，式（9）被稱為拉普拉斯變換（LT），並計作\(x(t)\overset{L}{\leftrightarrow}X(s)\)，它和FT顯然有關系式（10）。\(H(s)\)可以視為函數的\(s\)域特征，它是對頻域的擴充，在系統分析中也將起到更大的作用。還是得強調一下，雖然\(X(s)\)的定義域可以是整個復數域，但在某個具體的拉普拉斯變換中，\(s\)僅在一條虛軸平行線上（\(\sigma\)是定值）。課本中將逆變換寫成了復數在曲線上的微分，我覺得對本課程沒有意義。
\[x(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(s)e^{st}\,\text{d}\omega;\;\;X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}\,\text{d}t\tag{9}\]
\[x(t)\overset{L}{\leftrightarrow}X(\sigma+j\omega)\;\;\Leftrightarrow\;\;x(t)e^{-\sigma t}\overset{F}{\leftrightarrow}X(j\omega)\tag{10}\]
對於一個函數\(x(t)\)和固定的\(\sigma\)，如果LT對所有的\(\omega\)都收斂，那么稱\(x(t)\)的LT在\(\sigma\)處收斂。那些收斂的\(\sigma\)稱為LT的收斂域（ROC），但要注意，收斂域外的某個具體\(s\)處，LT積分也可能收斂。課本上以\(s\)定義收斂域，其實並無本質區別，因為LT總是定義在整條虛軸平行線上的。如果\(x(t)\)有限持續（\(|t|>T\)后為0），積分總是收斂的，它的ROC是整個復平面。如果\(x(t)\)左邊有限持續（右邊信號），考察\(x(t)e^{-\sigma t}\)的絕對可積性，如果在\(\sigma_0\)處絕對可積，則易證在\(\sigma>\sigma_0\)上都可積，從而ROC為右半平面。同樣道理，左邊信號的ROC就是左半平面。而一般的雙邊信號，可將其分割為左右兩部分，結合剛才的結論可知，ROC是一個帶狀區域。
以上左/右平面、帶狀區域的邊界是否收斂視情況而定，而且邊界本身可能是不存在的（無窮大小），以下不再說明。沖激響應\(h(t)\)的拉普拉斯變換\(H(s)\)是系統的\(s\)域特征，它還是被稱為系統函數，其ROC與系統性質有着一些關聯。比如因果系統的沖擊響應是一個右邊信號，從而系統函數的ROC必定是右半平面。還有一個穩定系統的沖激響應是絕對可積的，從而它的傅里葉變換收斂，也就是說系統函數的ROC必須包含虛軸。