作者：桂。
時間：2017-01-17 23:41:13
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前言
信號處理一個重要的關系就是時域與頻域的關系，本專題為：信號處理的頻域處理。
本文主要講述信號從時域連續信號到數字信號的變化，以及對應的頻域關系，內容較為基礎，公式不作具體推導。
更多詳細的理論以及對應MATLAB代碼，可以參考另一篇博文。
理論分析
（圖1 信號的時頻對應關系）
A.傅里葉變換（FFT）
由圖1（a）可以看出，連續非周期時域連續信號，對應頻域信號仍然是連續信號。
對應的變換關系為：
時域——>頻域
$F(\omega) = \int^{+\infty}_{-\infty} f(t) e^{-j\omega t}dt$
頻域——>頻域
$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty} F(\omega) e^{j\omega t}dt$
圖1（b）為傅里葉級數，此處不作描述。
B.離散時間傅里葉變換(DTFT)
圖1（c）表示對圖1（a）在時域上進行采樣，得到時域的離散信號，對應的頻域信號仍然是連續信號，並且是以采樣率為周期的周期信號。
對應的變換關系為：
時域——>頻域
$F(e^{j\omega}) = \sum^{+\infty}_{-\infty} f(n) e^{-j\omega n}$
頻域——>時域
$f(n) =\frac{1}{2\pi} \sum^{+\pi}_{-\pi} F(e^{j\omega}) e^{j\omega n}$
C.離散傅里葉變換（FFT）
圖1（d）表述對圖1（c）在頻域上進行采樣，得到的時域離散信號，對應的頻域也變為離散信號。
對應的變換關系為：
時域——>頻域
$F(k) = \sum^{N-1}_{n=0} f(n) e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$
頻域——>時域
$f(n) = \frac{1}{N}\sum^{N-1}_{k=0} F(k) e^{\frac{j2\pi kn}{N}}$
三種變換的關系總結一下，關系如圖2所示。至於FFT，是DFT的蝶形運算，本質相同，僅僅是運算不同，這里只是分析信號變換的對應關系，FFT的原理不作討論。
（圖2 三種變換的對應關系）