摘抄整理自《數字信號處理》第二版，吳鎮揚，高等教育出版社12頁，1.2節離散時間信號的傅里葉變換與z變換。
像模擬信號一樣，離散時間信號或數字信號序列（這里用詞相當嚴謹，數字信號序列取值上是離散的而離散時間信號則不一定）也存在着傅里葉變換，通常稱為離散時間信號的傅里葉變換，即DTFT（Discrete-Time Fourier Transform）。序列x(n)的DTFT定義為
$X({e^{jw}}) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x(n){e^{ - jwn}}} $ （1.9）
式中w為數字角頻率，它是頻率f對采樣頻率fs作歸一化后的角頻率
$w = \frac{{2\pi f}}{{{f_s}}}$
顯然X(e^jw)是w的連續函數，並且是以2π為周期的。（1.9）式的級數不一定總是收斂的，例如x(n)為單位階躍序列，級數就不收斂。（1.9）式收斂的充分條件為：
$\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\left| {x(n){e^{ - jwn}}} \right|} = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\left| {x(n)} \right|} < \infty $
即x(n)絕對可和，則它的DTFT一定存在。同時，也可以推斷，有限長序列總是滿足絕對可和條件的，其DTFT也總是存在的。
用e^jwn乘以（1.9）式的兩邊，並在w的一個周期內積分，可得
$\begin{array}{c}
\int\limits_{ - \pi }^\pi {X({e^{jw}}){e^{jwm}}dw} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left[ {\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x(n){e^{ - jwn}}} } \right]} {e^{jwm}}dw\\
= \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x(n)\int\limits_{ - \pi }^\pi {{e^{jw(m - n)}}} dw} \\
= 2\pi \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x(n)\delta (m - n)}
\end{array}$
注釋：上式中，m和n是表示序列的位置，取值離散，即m要么等於n，要么為不等於n的其他整數，在這個前提下，積分結果可分情況討論得出。注意到這里δ(m-n)是單位序列（離散）而不是沖激函數（連續）。
即
$x(n) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {X({e^{jw}}){e^{jwn}}dw} $
這就是離散時間信號的逆傅里葉變換（IDTFT）的公式。